- •Тема 1. Определители, матрицы, системы
- •П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:
- •Свойства определителей:
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Теорема Лапласа
- •Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.
- •Виды матриц:
- •Основные операции с матрицами и их свойства
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Теорема о существовании и единственности обратной матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия)
- •Методы решения
- •Условия применяемости методов
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Однородные системы
- •Фундаментальная система решений
- •Связь между однородной и неоднородной системами решений
- •Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Векторная алгебра (основные понятия)
- •Действия над векторами
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Теоремы о единственности разложения любого вектора пространства (r2, r3)
- •Координаты, проекция вектора на ось
- •Декартова система координат
- •Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Смешанное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Соответствие между геометрическими образами и уравнениями.
- •Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Окружность, эллипс, гипербола, парабола (вывод канонического уравнения, исследование кривой)
- •Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот)
- •6 Основных типов поверхностей второго порядка
- •С истемы координат
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры.
- •Линейное пространство (определение, примеры)
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Базис. Координаты.
- •Изменение координат при замене базиса (матрица перехода)
- •Определение скалярного произведения в линейном пространстве
- •Евклидово пространство (определение, примеры)
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Ортонормированный базис и его построение. Процесс ортогонализации.
- •Линейный оператор и его матрица
- •Зависимость матрицы от базиса
- •Собственные значения и вектора линейного оператора, их зависимость
- •Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов
- •Условия существования базиса из собственных векторов
- •Примеры операторов
- •Квадратичные формы
- •Упрощение общего уравнения линий и поверхностей второго порядка. Приведение их к каноническому виду
- •Тема 4. Введение в анализ
- •Комплексные числа (формы записи, основные операции)
- •Переменные и постоянные величины, множества (основные понятия)
- •Функция (определение, способы задания, свойства)
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции, геометрическая интерпретация
- •У равнения касательной и нормали
- •Гиперболические функции
- •Понятие дифференцируемой функции
- •Формула тейлора
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
6 Основных типов поверхностей второго порядка
С троятся методом сечения.
Э ллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением . Уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида. - трехосный эллипсоид; - эллипсоид вращения вокруг оси Oz; - эллипсоид вращения вокруг оси Oy; - эллипсоид вращения вокруг оси Ox; - сфера. Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .
Однополосный гиперболоид
Г иперболоид, определяемый уравнением , называется однополостным.
Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. Гиперболоид при a=b являются поверхностями вращения. Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Двуполостный гиперболоид
Гиперболоид, определяемый уравнением , - двуполостным. Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .
Эллиптический параболоид
П араболоид, определяемый уравнением , называется эллиптическим. Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .
Гиперболический параболоид
П араболоид, определяемый уравнением , - гиперболическим. Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Конус второго порядка
Каноническое уравнение: , a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
С истемы координат
*Декартовы прямоугольные координаты (R2 (R3) x y (z))
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, - базисные векторы, Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy)..
*Полярные координаты (R2 p(r) ϕ)
О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус, - полярный угол. Главные значения и : (иногда ).
Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные
В ыражение полярных координат через декартовы прямоугольные
*Цилиндрические координаты (R3)
Главные значения Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:
*С ферические координаты(R3)
Главные значения Иногда вместо рассматривают : Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами или