- •Тема 1. Определители, матрицы, системы
- •П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:
- •Свойства определителей:
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Теорема Лапласа
- •Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.
- •Виды матриц:
- •Основные операции с матрицами и их свойства
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Теорема о существовании и единственности обратной матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия)
- •Методы решения
- •Условия применяемости методов
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Однородные системы
- •Фундаментальная система решений
- •Связь между однородной и неоднородной системами решений
- •Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Векторная алгебра (основные понятия)
- •Действия над векторами
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Теоремы о единственности разложения любого вектора пространства (r2, r3)
- •Координаты, проекция вектора на ось
- •Декартова система координат
- •Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Смешанное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Соответствие между геометрическими образами и уравнениями.
- •Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Окружность, эллипс, гипербола, парабола (вывод канонического уравнения, исследование кривой)
- •Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот)
- •6 Основных типов поверхностей второго порядка
- •С истемы координат
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры.
- •Линейное пространство (определение, примеры)
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Базис. Координаты.
- •Изменение координат при замене базиса (матрица перехода)
- •Определение скалярного произведения в линейном пространстве
- •Евклидово пространство (определение, примеры)
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Ортонормированный базис и его построение. Процесс ортогонализации.
- •Линейный оператор и его матрица
- •Зависимость матрицы от базиса
- •Собственные значения и вектора линейного оператора, их зависимость
- •Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов
- •Условия существования базиса из собственных векторов
- •Примеры операторов
- •Квадратичные формы
- •Упрощение общего уравнения линий и поверхностей второго порядка. Приведение их к каноническому виду
- •Тема 4. Введение в анализ
- •Комплексные числа (формы записи, основные операции)
- •Переменные и постоянные величины, множества (основные понятия)
- •Функция (определение, способы задания, свойства)
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции, геометрическая интерпретация
- •У равнения касательной и нормали
- •Гиперболические функции
- •Понятие дифференцируемой функции
- •Формула тейлора
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.
1) Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор .
2) Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде . Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
3) Если в уравнении плоскости ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду (1), где , , - суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».
4) Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде , где , , - направляющие косинусы нормали плоскости, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).
Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой ; знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
6) Если три точки в одной плоскости, то они компланарные. Следовательно, можно получить уравнение плоскости через три точки: M0M1 M0M M0M2 =0
M0 (x0 y0 z0), M1 (x1 y1 z1), M0 (x1 y1 z1)
Расстояние от точки до плоскости
Взаимное расположение плоскостей – если записаны в одной форме.
Если (в векторном виде), то они:
1) пересекаются
2) параллельны (но не совпадают)
3) совпадают
Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют место, когда:
1)
2)
3)
Угол между плоскостями
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей или
Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
В пространстве:
Прямая как линия пересечения двух плоскостей , при условии, что не имеют места равенства
Канонические уравнения прямой где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.
Уравнения прямой по двум точкам
В координатах (параметрические уравнения):
Направляющий вектор такой прямой где
Взаимное расположение двух прямых
Если прямые заданы уравнениями и то они:
1) параллельны (но не совпадают)
2) совпадают
3) пересекаются
4) скрещиваются
Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):
1)
2)
3)
4)
Расстояние между двумя параллельными прямыми В координатах
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми В координатах
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых или
На плоскости:
Через нормаль и точку A(x-x0)+B(y-y0)=0
Общее уравнение Ax + By + C=0 ( > 0). Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.
Уравнение прямой в отрезках где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Н ормальное уравнение прямой где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.
В координатах (параметрические уравнения):
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам или или
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту или где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых:
Пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые и
пересекаются
параллельны
совпадают
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
Расстояние между параллельными прямыми