Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.Асимптоти.

Означення: функція f(x) – визначена в інтервалі (a; b), що має похідну в цьому інтервалі називається опуклою вгору (вниз) в інтервалі (a; b), якщо x₀ (a; b) графік функції лежить нижче (вище) графіку дотичної.

Означення: точка x₀ називається точкою перегину графіка функції f(x), якщо зліва і справа від точки x₀ функція має різні напрямки опуклості.

Теорема. Достатня умова опуклості функції:

Нехай функція f(x) визначена в інтервалі (a,b) і має в цьому інтервалі другу похідну. Тоді якщо f(x) <0 - то функція опукла вгору, якщо f(x) >0 то функція опукла вниз.

Доведення: нехай x₀ - довільна точка інтервалу (a; b)

y = y₀+f(x₀)(x-x₀) = f(x₀) + f(x₀)(x-x₀) = L_x0(x)

f(x) - L_x0 = f(x) - f(x₀) - f(x₀)(x-x₀) = f(c)(x-x₀)/2!. Оскільки функція f(x) має похідну то для неї справедлива формула Тейлора (n=1)

f(x) = f(x₀) + f(x₀)(x-x₀) + f(c)(x-x₀)²/2!. Припустимо, що f(x)<0 

 f(c)<0  f(c)(x-x₀)²/2! < 0  f(x)- L_x0(x) < 0  опукла вгору. Нехай f(x)>0  f(c) > 0  f(c)(x-x₀)²/2! > 0  f(x) - L_x0(x) > 0  Опукла вниз.

Теорема. Необхідна умова точки перегину: якщо функція f(x) в точці перегину x₀ має неперервну другу похідну то, ця похідна дорівнює 0.

Доведення: припустимо що f(x₀)  0, наприклад f(x₀) > 0, тоді оскільки друга похідна неперервна в точці x₀ то за теоремою про стійкість знаку функція f(x) – зберігає знак в околі точці x₀, за попередньою теоремою вона повинна бути опуклою до низу тому напрямок опуклості не змінюється.

Якщо f(x₀) < 0  f(x) < 0 x O(x₀)  .

Отже залишився випадок f(x₀) = 0. 

Теорема. Достатня умова точки перегину: якщо функція f(x) має f(x) x O(x₀), f(x₀) = 0 і зліва і справа від точки x₀ друга похідна має різні знаки. То x₀ – точк перегину.

Доведення: якщо f(x) має вигляд (+ x₀ ),

то при x<x₀, f(x) > 0  , x>x₀, f(x) < 0  .

якщо f(x) має вигляд ( x₀ +),

то при x<x₀, f(x) < 0  , x>x₀, f(x) > 0  . 

Асимптоти – прямі, які ілюструють поведінку графіка функції.

Теорема: Для того щоб y = kx + b була правою асимтотою графіка функції y = f(x) при x®+ необх і …, щоб існувала lim_x®+(f(x)/x) = k, lim_x®+(f(x)-kx) = b.

Доведення:

Необхідність: Припустимо y = kx + b – права асимптота; lim_x®+(f(x)-(kx+b)) = 0;

f(x)-(kx+b) = (x); f(x) = kx+b+(x); f(x)/х = k+b/х + (x)/х; Спрямуємо x®+; k+0+0 = k; lim_x®+(f(x)/x) = k, lim_x®+(f(x)-kx) = lim_x®+(kx+b+(x)-kx) = b+0 = b.

Достатність: Припустимо, що ісенують 2 границі:

Існують lim_x®+(f(x)/x) = k, lim_x®+(f(x)-kx) = b; lim_x®+(f(x)-kx) = bf(x)-kx=b+(x)

f(x)-(kx+b) = (x)  lim_x®+(f(x)-kx) = lim_x®+((x)) = b; =0;

Білет 22.

Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.

Функція F(x) визначена в інтервалі (a,b) називається первісною для функції f(x) визначеною в тому самому інтервалі, якщо виконується рівність F(x) = f(x).

Теорема: дві первісні однієї й тієї ж самої функції в інтервалі (a,b) можуть відрізнятись лише на константу.

Доведення: нехай F₁(x) i F₂(x) дві первісні однієї й тієї ж самої функції f(x) в інтервалі (a,b). Розглянемо різницю F(x) = F₁(x)-F₂(x). Нехай x₁<x₂ дві довільні точки цього інтервалу. Застосуємо до F(x) теорему Лагранжа на відрізку [x₁,x₂]. Маємо

F(x₂) - F(x₁) = F(c)(x₂-x₁) де x₁ < c < x₂

F(c) = F₁(c) - F₂(c) = f(c) - f(c) =0

F(x₁) - F(x₂) = 0  F(x₂)=F(x₁) x₁<x₂  F(x) = const = C

Означення: невизначеним інтегралом функції f(x) заданої в інтервалі (a,b) називається множина всіх первісних цієї функції.

Позначається f(x)dx = {F(x)+c), c Є R

Отже загальний випадок первісної F(x)+C

Властивості інтегралу:

1. Лінійність (f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx

a*f(x)dx=a*f(x)dx

Для доведення потрібно взяти похідні від лівої і правої частини і скористатися властивостями лінійності похідної. Доведемо першу.

( ( f(x) + g(x) )dx ) = f(x) + g(x)

( f(x)dx + g(x)dx ) = ( f(x)dx ) + ( g(x)dx ) = f(x) + g(x). 

2. Мають місце такі рівності:

( f(x)dx ) = f(x) – випливає з означення інтеграла

dF(x) = F(x) + C

Доведемо другу.

dF(x) = F(x)dx F(x) – первісна для F(x)

F(x)dx = F(x) + C  dF(x) = F(x) + C. 

Білет 23.