Означення функції. Способи задання функції. Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці.

Означення функції: Якщо кожному значенню змінної х з множини {x} ставиться у відповідність за відомим законом деяке число у, то кажуть, що на множині {x} задана функція у=у(х) або у=f(x).При цьому х-аргумент функції, а {x}-область задання функції у=f(x).

Способи задання функції:

1) Аналітичний – задання за допомогою формул, функція може визначатися різними формулами на різних відрізках області задання;

2) Табличний – задається таблиця окремих значень аргумента та відповідних їм значень функції;

3) Графічний – відповідність між аргументом та функцією задається графіком. Означення по Гейне: Число L називається границею функції f(x) за умови xa, якщо: 1. функція f(x) визначена у проколотому околі точки a

2.  x_na, x_n D(f)  f(x_n)  L.

Означення Коші: Число L називається границею функції f(x), коли xa, якщо:

1. функція f(x) визначена у проколотому околі точки a

2. >0 () xD(f) x-a<  f(x) - L<

Властивості границі функції:

1. Єдиність границі ( lim_xa f(x) = L₁, lim_xaf(x) = L₂  L₁=L₂ )

Доведення: візьмемо довільну послідовність x_na тоді за Гейне

y_n= f(x_n)  L₁

y_n= f(x_n)  L₂

за властивостю єдиності границі для послідовності L₁=L₂

2. Обмеженість границі, якщо f(x) має границю в точці a то вона обмежена в де-якому околі точки a.

Доведення:

За означенням: >0 () x D(f) x-a<  f(x)-L<

Нехай =1

 x D(f) x-a<  f(x)-L<1  -1<f(x)-L<1  L-1<f(x)<L+1

Таким чином f(x) обмежена з низу константою L-1 і зверху константою L+1.

Арифметичні властивості границь:

Теорема: якщо границя функції f(x), коли xa дорівнює L, а lim_xag(x) = M то:

f(x)g(x)  LM; f(x)g(x)  LM; f(x)/g(x)  L/M, M0.

Доведення: Нехай x_n послідовність значень аргумента -> a функцій f(x) і g(x) тоді f(x_n) та g(x_n) послідовності значень цих функцій, які мають границі L та M. Тоді за арифметичними властивостями границь послідовностей: {f(x_n)g(x_n)}  LM; {f(x_n)g(x_n)}  LM; {f(x_n)/g(x_n)}  L/M, M0.

Білет 7.

Перша та другі важливі границі.

Теорема: lim_x0 sinx/x = 1.

Доведення: функція парна sin(-x)/(-x)= sinx/x тому розглянемо випадок 0<x</2

S_OAB < S_сектOAB < S_OAC, що відповідно

½ sinx < ½ x < ½ tgx

sinx < x < txg = sinx/cosx в інтервалі 0<x</2  1 < x/sinx < 1/cosx  1 > sinx/x > cosx, враховуючи що cosx = 1- 2sin²(x/2) > 1 – 2(x/2)², бо 0 < sin(x/2) < x/2, маємо

1 > sinx/x > 1-x²/2 при x0,

lim 1 = 1

lim (1-x²/2) = 1  lim (sinx/x) = 1 

Теорема: lim_x®(1+1/x)^x = e.

а) x®+ : x-1<[x]=n=<x n=<x<n+1, де n=[x]; Піднесемо до степеня x нерівність 1+1/(n+1)< 1+1/x=<1+1/n ; (1+1/(n+1))^x< (1+1/x)^x=<(1+1/n)^x ; (1+1/(n+1))ⁿ<(1+1/x)^x< (1+1/n)^x=<(1+1/n)ⁿ⁺¹; (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹/(1+1/(n+1))<(1+1/x)^x< (1+1/n)ⁿ *(1+1/n) ;

Спрямуємо x®+  n®+  lim_x®(1+1/x)^x = e.

x®- : x=-t, t=-x, t®+ : lim_x®-(1+1/x)^x = lim_t®+(1-1/t)^-t = lim_t®+((t-1)/t)^-t = lim_t®+(t/(t-1))^t = lim_t®+((t-1+1)/(t-1))^t = lim_t®+(1+1/(t-1))^t-1 * lim_t®+(1+1/(t-1)) = e*1 = e.

Білет 8.