Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.

Означення: нехай функція f(x) визначенна в околі точки x₀ тоді похідною функції f(x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргумента в цій точці, за умови, шо приріст аргументу прямує до 0. f( x₀) =(df / dx)x₀ = Df(x₀).

Означення: лівою похідною в точці x₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що прирост аргументу прямує до 0 зліва.

f_-( x₀) = lim_h0-0( ( f(x₀+h)-f(x₀) )/h ) = lim _x0-0 ( f/x ) x₀

Аналогічне означення правої похідної f₊( x₀).

Теорема: якщо функція f(x) має похідну в точці a то вона неперервна в цій точці.

Доведення: нехай f(x) має похідну f(x) = lim_xa( ( f(x)-f(a) )/(x-a) )  ( f(x) – f(a) )/(x-a) = f(a) + (x), де (x) 0, коли xa  f(x)-f(a) = f(a)(x-a)+(x)(x-a). Перейдемо до границі.

lim_xa( f(x) – f(a) ) = lim_xaf(x)(x-a)+ lim_xa(x)(x-a) = 0 + 0 = 0  lim _xaf(x) = f(a). 

Правила диференціювання:

Теорема: якщо функції f(x) і g(x) мають похідну в точці x, то:

1. (f+g)(x) = f(x) + g(x)

2. (cf)(x) = cf(x)

3. (fg)(x) = f(x)g(x) + g(x)f(x)

4. (f/g)(x) = ( f(x)g(x) - g(x)f(x) )/g²(x)

Доведення: 1 та 2 випливає з того що границя суми двох функцій дорівнює сумі границь, а константа виноситься за знак границі.

Доведемо 3.

(fg)(x) = f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x+h)+ f(x)g(x+h) – f(x)g(x) = ( f(x+h) – f(x) )g(x+h) + f(x)( g(x+h) –g(x) ) поділимо на h ліву і праву частину рівності і спрямуємо h до 0.

(fg)(x) / h = ( f(x+h) – f(x) )/hg(x+h) + f(x)( g(x+h) –g(x) )/h  оскільки g(x) має похідну в точці x, то вона і неперервна в точці x, тому має місце рівність lim_h0g(x+h) = g(x), отже маємо  f(x)g(x)+f(x)g(x).

Доведемо 4.

Доведемо для випадку (1/g)(x) = -g(x)/g²(x)

Розглянемо приріст (1/g)(x) = 1/g(x+h) – 1/g(x) = ( g(x)-g(x+h) )/ (g(x+h)g(x)) поділимо ліву і праву частину на h0 маємо: (1/g)(x)/h = - ( g(x+h) – g(x) )/h1/( g(x+h)g(x) )  - g(x)( 1/(g(x)g(x) ) ) = -g(x)/g²(x).

(f/g)(x) = (f  1/g)(x) = f(x) (1/g(x))+f(x)(1/g)(x) = f(x)/g(x) + f(x)(-g(x))/g²(x) =( f(x)g(x) – f(x)g(x) )/g²(x). 

Білет 14.

Означення оберненої функції та функції заданої параметрично. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.

Означення:Нехай f(x) взаємно однозначне відображення множини Х на множ У. Оберненою функцією наз відображення визначене на образі відображення, що приймає значення на множХ,яка ставить у відповідність кожній точці образа її прообраз(у|->f^-1(x))

Теорема про похідну оберненої функції: якщо функція f(x) визначена в околі точки x₀, неперервна, строгомонотонна в цьому околі і має похідну в точці x₀ відмінну від 0. То вона має в цьому околі неперервну обернену функцію g(y) = f^-1(y) і ця обернена має похідну, в точці y₀ = f(x₀) і має місце рівність ( f^-1(y₀) ) = 1/f(x).

Доведення: y = f(x), g(y) – обернена функція. Розглянемо g/y y₀ = ( g(y) – g(y₀) )/(y-y₀) = [ x = g(y), x₀ = g(y₀)] = (x-x₀) / ( f(x)-f(x₀) ) поділимо чисельник і знаменик на x-x₀. Спрямуємо y до y₀ в лівій частині тоді в правій частині xx₀, це виливає з того, що якщо f(x) – строгомонотонна і неперервна то і обернена теж строгомонотонна і неперервна. g(y₀) = lim g/yy₀, при yy₀ =

= lim ( 1/( (f(x)-f(x₀) )/(x-x₀) ) ) = 1/lim ( [f(x)-f(x₀)] /(x-x₀) ), при xx₀ = 1/f(x₀). 

Означення: функція y=(x) називається заданою параметрично, якщо вона задається системою рівнянь  x = f(t)

 y = g(t),

де t – параметр, функціїї f(t) і g(t) – неперервні, а функція f(t) має обернену.

Теорема: якщо функція (x) задана параметрично рівняннями

 x = f(t)

 y = g(t), функціїї f(t) і g(t) мають похідну в точці t то має місце рівність (x) = g(t) / f(t)  y_x= y_t/x_t

Доведення: (x) = y_x = ( g( f^-1(x)) )_x = g(f(x) )(f^-1(x))=g(t)( 1/f(t))= y_t/x_t. 

Білет 15.