Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості.

Функція, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.

Теорема: якщо (x) і (x) нескінченно малі функції при x  a то іх сума, різниця, добуток теж нескінченно малі. Якщо (x) – нескінченно мала, а f(x) – обмежена в околі точки a, то добуток є нескінченно мала.

Доведення: Для першої частини треба використати теорему про арифметичні властивості границь. Доведемо другу. Оскільки (x) 0 то x D x-a<  (x)</C  f(x)(x) = f(x)(x)<(/C)C =  (x)f(x)0 

Означення: якщо lim_xa(x)/(x) = 0, то (x) – називається нескінченно малою більшого порядку малості ніж (x). І позначається  = 0().

Означення: нескінченно малі (x) і (x) називаються нескінченно малимі одного порядку малості, якщо границя їх відношення є константа відмінна від 0.

Означення: дві нескінченно малі (x) i (x) називаються еквівалентними, якщо границя їх відношення = 1.

Теорема: принцип заміни нескінченно малих на еквівалентні: якщо (x) ~ ₁(x), коли xa, a (x) ~ ₁(x), коли xa, то lim((x)/(x)) = lim(₁(x)/₁(x)) при xa

Доведення: домножимо та поділимо на ₁(x) та ₁(x) тоді маємо:

lim ((x)/(x)) = lim (₁(x)/₁(x))*((x)/₁(x))*(1(x)/(x)) = lim (1(x)/1(x))*lim ((x)/₁(x))*lim (₁(x)/(x)) = lim ₁(x)/1(x) при xa

Приклад:

lim (sin 5x)/(e^2x) = lim (5x/2x) = 2,5 при x0

Функція f(x) називається нескінченно великою при xa, якщо C>0 (C)>0 xD(f) x-a<  f(x)>C

Білет 9.

Неперервність функції в точці. Теорема про композицію неперервних функцій. Односторонні границі. Теорема про зв'язок односторонньої границі із звичайною. Точка розриву. Типи точок розриву.

Означення: функція f(x) називається неперервною в точці а , якщо f(x) визначена в околі точки а, і границя функції f(x) , коли x=>a дорівнює значенню в точці а.

1. (Гейне)  x_na  f(x_n)  f(a) при n

2. (Коші)  >0  (),  x, |x-a|<  |f(x)-f(a)|<

3. x-a = x_a , f(x)-f(a) = f_a - приріст в точці а.

 >0  () |_a |<  | f_a|<

Теорема: якщо функції f(x) i g(x) - неперервні в точці x=a , то сума, різниця (fg)(x) добуток (fg)(x) та відношення (f/g)(x) g(x)0 неперервні в точці x=a.

Доведення: доведемо для відношення функцій при xa

Lim (f/g)(x) = lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x) = f(a)/g(a) = (f/g)(a)

Для інших аналогічно.

Теорема про композицію неперервних функцій: якщо функція y=f(x) неперервна в точці а, а функція z=g(y) неперервна в точці y₀=f(a), то складна функція z = g(f(x)) = (gf)(x) є неперервною функцією в точці а.

Доведення:

 x_na  f(x_n)=y_n  f(a)  g(y_n)  g(f(a))

 x_na  g(f(x_n))  g(f(a)) 

Лівим  околом т.а наз ітервал (а-,а);Правим  околом наз інтервал(а,а+).

Число L наз границею функції f(x) коли x0 зліва, якщо >0 () x із лівого околу т. а а-<х<а виконується f(x) - L<. L = lim_xa-0 f(x) = f(a-0), аналог справа.

Приклад: f(x) = |x|/x ; lim_x-0 (|x|/x) = lim_x-0 (-x/x) = -1.Границі нема, є справа і зліва.

Теорема про зв'язок між гран ф та одност гран: Для того, щоб f(x) визначена в прок околі т а, мала границю …щоб мала рівні гран зліва і справа.

Доведення: lim f(x)=L  >0  ()>0 x 0<(x-a)< f(x) - L< ; 0<|x-a|<  a-<x<a+ , xa  x(a-)(a,a+) ліва та права відп.f(x) - L<

Означення: функція називається розривною в точці a, якщо вона визначена в проколотому околі точки a і не є в цій точці неперервною.

Розрив в точці a функції f(x) називається розривом першого роду, якщо в цій точці a існують границі функції зліва і справа.

1. Усувний розрив першого роду.  f(a-0) = f(a+0)  f(a), або f(a) – невизначена.

2. Неусувний розрив першого роду.  f(a-0)  f(a+0).

Величина f(a-0) - f(a+0) – називається стрибком функції.

В точці a має місце розрив другого роду, якщо хоча б одна із одностороніх границь дорівнює , або не існує.

Білет 10.