Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

19. Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты c_n называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами

Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:

где

Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

20. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение, общий и частный интеграл уравнения. Начальные условия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнений первого порядка. Особые решения. Интегральные кривые. 

Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее независимые переменные, функции и производные этой функции.

Общий вид ДУ имеет вид:

f(x, y, y’, y”, …, yⁿ) = 0.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y (x, C₁, C₂,…, C_n), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C₁, C₂,…, C_n.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C_i.

Наряду с частными существуют особые решения, которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Записываются в неявном виде:

Ф (x, y, c) = 0.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y «(x₀) =y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Задача Коши: Найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка y = f(x, y) или Ф(x, y, y') = 0 в виде функции, удовлетворяющее условию y(x₀) = y_0.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Пусть дано дифференциальное уравнение, где функция y'= f(x, y) определена в некоторой области D, (x₀, y₀). Если функция y'= f(x, y) удовлетворяет условиям:

1. f(x, y) – неопределенна в области D

2. f(x, y)- имеет частную производную f ' y ,то найдется интервал (x₀-h, x₀+h), в котором существует единственное решение y=y(x) уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

21. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения. Метод Бернулли.

1) Уравнение с разделяющимися переменными

Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Представим P(x, y) = f₁(x)* γ₁(y), тогда Q(x, y) = f₂(x)* γ₂(y).

f₁(x)* γ₁(y)dx + f₂(x)* γ₂(y)dy = 0.

Наша задача сводится к разделению переменных.

f₁(x)* γ₁(y) f₂(x)* γ₂(y) f₁(x) γ₂(y)

^{________________} dx + ^{________________} dy = 0 ^{=> _______}dx + ^_________dy = 0

γ₁(y)* f₂(x) γ₁(y)* f₂(x) f₂(x) γ₁(y)

или N(x)dx + M(y)dy = 0 – уравнение с разделяющими переменными

N(x) = f₁(x)/ f₂(x), M(y) = γ₂(y)/ γ₁(y).

2. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение y'= f(x) называется однородным, если первую часть уравнения можно представить в виде функций отношения переменных, т.е.

f(x, y)=(y/x), или y'=γ(y/x).(1)

Способ решения – способ подстановки:

y/x = t. (2)

Из (2) следует: y=xt

y'=t + xt'. (3)

2. Линейные уравнения. Метод Бернулли

Уравнение вида y' +P(x)y=Q(x) называется линейным однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, где P(x) и Q(x)- неизвестные функции

Метод Бернулли предполагает введение подстановки y=uv, u=u(x), v=v(x), y' = u'v + uv'.

u'v + uv' + P(x)uv = Q(x)

v(u' + P(x)u) + uv' = Q(x)

Т.к. функции u и v взяты произвольно, то среди них могут быть такие, что обратя (u' + P(x)u) в ноль.

u' + P(x)u = 0

uv' = Q(x)

Решив первое уравнение, найдем функцию u. Подставим найденное значение и во второе уравнение, найдем функцию v.

22,23 Камил