30. Численные методы решения д.У : метод Эйлера.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях Дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у’)=0 или у’=f(x,y) (1) где у’=dy/dx – первая производная от неизвестной функции y(x) по ее аргументу x. Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением ДУ. График решения ДУ называют интегральной кривой. Процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием. Решение ДУ находится обычно с точностью до произвольной постоянной. Для того чтобы выделить из семейства решений ДУ (1) одно конкретное решение, задают начальное условие y(x0)=y0 (2) Задачу нахождения решения ДУ (1) при начальном условии (2) называют задачей Коши. 5.2. Метод Эйлера Этот метод для решения задачи Коши у’=f(x,y), y(a)=y0 (a<x<b) был описан Эйлером (1768) в его «Интегральном исчислении» (раздел второй, гл.VII). Перепишем дифференциальное уравнение в следующем виде:

где h=x1-x0. Отсюда имеем расчетную формулу для первого шага y1=y0+hf(x0,y0). Повторяя процедуру, находим

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [xi, xi+1] отрезком касательной, проведённой к графику решения в точке xi.