27 Метод неопределённых коэффициентов
Рассмотрим некоторые случаи решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) с постоянными коэффициентами в зависимости от специального вида правой части f (х).
1.
,
где Pm(x)–
многочлен степени m .Тогда частное
решение
ДУ
(1) ищут в виде, похожем на
f (х)
(говорят: по виду правой части):
,
где r показывает, сколько раз a встречается
среди корней характеристического
уравнения.
В
этом случае
будет
линейно независимым решением по отношению
к y1,
y2,
… , yn–
решениям однородного ДУ. Qm(x)–
многочлен степени m с неопределёнными
коэффициентами, например, при m
= 0, f
(х)
=
Q0(x)
= A1,
где A1–
новая константа, требующая определения.
При m
= 1, f
(х)
=
Q1(x)
= (A1x
+ B1),
где A1
= ?, B1
= ? и т.д. Неопределённые коэффициенты
находят методом сравнения коэффициентов
при одинаковых степенях х в левой и
правой частях ДУ, то есть решением
системы линейных уравнений (сравните
метод неопределённых коэффициентов
при интегрировании рациональных дробей).
Пример 5. Найти общее решение ДУ: y/// - y/ = (2 - 3x)ex.
Ищем вначале общее решение соответствующего однородного ДУ методом Эйлера:
,
k2
= 1, k3
= -1.
Система линейно независимых решений (фундаментальная система решений) имеет вид:
,
y2
= ex,
y3
= e-x.
Ей соответствует общее решение однородного уравнения:
y0 = c1 + c2ex + c3e-x.
Обратимся к правой части f (x) = (2 - 3x) ex. В нашем случае только функция y2 = ex повторилась в виде, который имеет место для f (х), таким образом, r = 1. Многочлен в правой части P1(x)= (2 - 3x) имеет высшую – первую степень переменной х, то есть m = 1. Следовательно, частное решение ДУ будем искать в виде: = xex (Ax + B). А и В – неизвестные коэффициенты многочлена Q1(x).
Найдём
,
,
:
,
,
=
ex
(Ax2
+ Bx
+ 4Ax
+ 2B
+ 2A),
.
Подставляем в исходное ДУ, приводя подобные:
4Ах
+ 2В
+ 6А
= 2 - 3х.
Покажем два способа отыскания неизвестных коэффициентов А, В:
а) сравним коэффициенты при одинаковых степенях х:
;
;
б) получим два уравнения, задав два значения переменной х:
(вычли из верхнего уравнения нижнее).
Отсюда:
.
Таким
образом, частное решение, которое
удовлетворяет исходному ДУ, имеет вид:
.
Суммируя все найденные решения по формуле (3), запишем общее решение исходного ДУ:
.
2.
.
В этом случае частное решение
ищут
в виде:
,
где r показывает, сколько раз комплексное
число (a
i
b
) встречается среди корней характеристического
уравнения. Qm(x),
Nm(x)–
многочлены степени m с неопределёнными
коэффициентами, m
= max (m1,
m2).
Пример 6. Найти общее решение ДУ y/// - y// + y/ - y = 2sin x.
Составляем соответствующее однородное ДУ: y/// - y// + y/ - y = 0 (см. пример 4.1.), его характеристическое уравнение:
k3
- k2
+ k
-1 = 0
,
k2
= i,
k3
= -i,
и фундаментальная система решений:
y1 = ex, y2 = cos x, y3 = sin x.
Общее решение однородного уравнения: y0 = c1ex + c2cos x + c3 sin x.
Анализируем правую часть дифференциального уравнения:
f (x) = 2sin x = e0x(P0cox x + R0sin x),
что
соответствует комплексному числу
;
b = 1 ( мнимая часть комплексного числа),
a = 0 (действительная часть комплексного числа),
и
это число только один раз встречается
среди корней характеристического
уравнения (
).
Таким
образом,
.
Находим
,
,
и
подставляем в исходное ДУ:
,
=
- 2Asin
x
+ 2Bcos
x
- x
(Acos
x
+ Bsin
x),
-2Acos x - 2Bsin x + 2Asin x - 2Bcos x = 2sin x.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения:
Отсюда:
k1,
k2,
.
Нашли
частное решение
и
общее решение исходного ДУ:
.