28. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Постановка
задачи. Найти
решение задачи Коши для линейного
неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами
(1)
с
начальными условиями
(2)
План решения.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами
.
(3)
Находим
фундаментальную систему решений
и
и
общее решение однородного уравнения
.
2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле
,
где
функции
и
определяются
из системы линейных алгебраических
уравнений
(4)
Интегрируя,
находим функции
и
и
записываем общее решение неоднородного
уравнения.
3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши.
Задача
16. Найти
решение задачи Коши.
.
Характеристическое
уравнение:
.
Общее
решение однородного уравнения:
.
Частное
решение неоднородного уравнения ищем
методом вариации произвольных постоянных
(методом Лагранжа). Пусть
и
,
тогда
Из
первого уравнения имеем
.
Подставляя во второе, получаем
.
Тогда
и
.
,
.
Общее решение исходного уравнения
.
Для решения задачи Коши находим первую производную:
.
Тогда
Откуда
.
Решение
задачи Коши:
или
.
29. Системы линейных ду с постоянными коэффициентами
Линейным
однородным дифференциальным уравнением
n-го порядка с постоянными коэффициентами
называется уравнение
(1)
в котором все члены имеют первую
степень относительно функции и ее
производных, а коэффициенты p1, p2, ..., pn —
постоянные.
Общее решение линейного
однородного уравнения (1) имеет вид
где
y1, y2, ..., yn — линейно независимые частные
решения этого уравнения, а C1, C2, ..., Cn —
произвольные постоянные.
Рассмотрим
еще один метод интегрирования нормальной
системы уравнений (6.1) в случае, когда
она представляет собой систему линейных
однородных ДУ с постоянными коэффициентами,
т. е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1, у2 и у3:
где
все коэффициенты аij
(i,j=
1,2,3) - постоянные. Будем искать частное
решение системы (6.6) в виде
где а, β, γ, k - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6).
Подставив
эти функции в систему (6.6) и сократив на
множитель
получим: 
Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно К. Рассмотрим возможные случаи.
Случай.
Корни характеристического уравнения
действительны и различны: k1
k2,
k3.
Для каждого корня ki
(i=1,2,3) напишем систему (6.8) и определим
коэффициенты
(один из коэффициентов можно считать
равным единице). Таким образом, получаем:для
для корня k1
частное решение системы (6.6):
для
корня
для
корня
Можно
показать, что эти функции образуют
фундаментальную систему, общее решение
системы (6.6) записывается в виде
Пример
6.3. Решить систему уравнений:
Решение:
Характеристическое уравнение (6.9) данной
системы имеет вид
или
1-2k+k2-4=0,
k2-2k-3=0,
k1=-1,
k2=3.
Частные решения данной системы ищем в
виде
y2(2)=β2еk2x.
Найдем
При
k1=-1
система (6.8) имеет вид
т. е.
Эта
система имеет бесчисленное множество
решений. Положим а1=1,
тогда β1=2.
Получаем частные решения
При
k2=3
система (6.8) имеет вид
Положим
а2=1,
тогда β2=-2.
Значит, корню k2=3
соответствуют частные решения:
Общее
решение исходной системы, согласно
формуле (6.10), запишется в виде:
