7.4 Сравнение уровня признака в зависимых выборках

При сопоставлении уровня результатов в двух зависимых выборках, когда измерения производятся на одних и тех же испытуемых в различных условиях X и Y, следует учитывать взаимозависимость результатов у каждого отдельного испытуемого.

Формула t-критерия Стьюдента при решении задачи такого рода имеет вид

где di = x_i - y_i, т.е. разности значений признака для каждого испытуемого. Следует различать  (di²) - сумму квадратов di - и ( di) ² - квадрат суммы di.

Количество степеней свободы определяется по формуле

 = N-1

Корректное применение t-критерия предполагает, что распределение признака относится к нормальному типу. Альтернативная гипотеза принимается, если t _эмп t _кр. Задача сравнения результатов двух зависимых выборок предполагает направленное изменение результатов в ту или иную сторону, поэтому критические значения t _кр берутся из колонки для одностороннего критерия.

В программе Microsoft Excel расчет эмпирического значения критерия Стьюдента для зависимых выборок выполняется с использованием встроенного «Парного двухвыборочного t-теста для средних». Чтобы воспользоваться встроенной функцией Microsoft Excel надо войти в раздел «Анализ данных» из меню «Сервис», где и выбрать «Парный двухвыборочный t-тестдля средних». На экране высвечивается меню «Парного двухвыборочного t-теста для средних», в котором задаются интервалы обеих переменных, вероятность ошибки первого рода Альфа и выходной интервал (номер левой верхней ячейки выходного интервала). Гипотетическая средняя разность равна нулю по умолчанию. Выходные данные включают средние арифметические значения переменных в выборках, значения дисперсии, количество наблюдений в выборках, коэффициент линейной корреляции Пирсона, число степеней свободы, эмпирическое значение t-критерия и критические значения для одностороннего и двустороннего критериев.

Задача: Учащиеся старших классов выполняли тест ADOR в десятом, а затем через год в одиннадцатом классе. Увеличился ли за это время показатель враждебности к матери у девушек-учениц данной школы?

Н0: уровень враждебности к матери у девушек в 11 классе значимо не выше такового в 10 классе.

Н1: показатели уровня враждебности к матери у девушек в 11 классе выше уровня враждебности, который был за год до этого - в 10 классе.

Таблица 14

Оценка значимости изменения показателя враждебности к матери по тесту ADOR для учениц одной из школ Ленинградской области (по t-критерию Стьюдента)
Результат по тесту ADOR
в 11классе	в 10 классе	d		d^2
11	11	0		0
12	11	1		1
13	7	6		36
5	4	1		1
13	13	0		0
19	8	11		121
12	3	9		81
11	9	2		4
11	4	7		49
9	9	0		0
17	2	15		225
4	2	2		4
0	6	-6		36
14	8	6		36
7	5	2		4
3	1	2		4
11	9	2		4
17	6	11		121
9	6	3		9
17	7	10		100
13	2	11		121
4	3	1		1
10	12	-2		4
0	6	-6		36
4	1	3		9
10	4	6		36
8	2	6		36
7	11	-4		16
12	3	9		81
14	3	11		121
4	10	-6		36
5	7	-2		4
4	5	-1		1
13	9	4		16
		di =114		(di^2) =1354
Мх = 9.50  = 4.937	Мх = 6.15  = 3.421	(di)^2/34= 382,2
		=3,603	t кр.=2.44 (=0.01)
tэмп.>tкр. принимается альтернативная гипотеза. Ответ: враждебность девушек в 11 классе по отношению к матери (по тесту ADOR) значимо выше, чем она была у них за год до этого (р=0.01).

Если измерения проводились на двух зависимых выборках, но распределение признака хотя бы в одной из них оказалось отличным от нормального, либо недостаточным является объем выборок, то для оценки значимости изменений в этом случае используется непараметрический Т-критерий Вилкоксона для попарных сравнений. Т-критерий Вилкоксона применяется для признаков, измеренных в шкалах рангов, интервалов или отношений в двух различных условиях на одной и той же группе испытуемых. Критерий используется при минимальном количестве испытуемых 5 человек, а максимальное количество - 50 испытуемых (это ограничение связано с тем, что для большего числа испытуемых критические значения критерия не рассчитаны).

Вычисления производятся в следующей последовательности:

1. Находится разность результатов для каждого испытуемого: из результата при условии 2 вычитается результат при условии 1.

2. Полученные разности ранжируются от наименьшего к наибольшему по абсолютной величине. Нулевые разности не учитываются.

3. Отдельно записываются ранги положительных и отрицательных разностей и суммируются отдельно. Правильность подсчета суммы рангов проверяется так же, как в критерии Манна-Уитни.

4. В качестве эмпирического значения принимается наименьшая сумма рангов.

5. Эмпирическое значение Т-критерия сравнивается с табличными значениями критических значений для =0.05 и =0.01 (Таблица 8 Приложения) и числа испытуемых в исходной выборке. Нулевая гипотеза отклоняется, если Т_эмп  Т_крит.

Аналогично приведенным выше задачам, если нас интересует только сам факт наличия изменений в выборке, то используются критические значения для двустороннего критерия, а если нам важна направленность изменений (при использовании Т-критерия Вилкоксона это случается чаще), то берутся критические значения для одностороннего критерия.

Задача: Учащиеся старших классов (юноши) выполняли тест ADOR в десятом, а затем через год в одиннадцатом классе. Увеличился ли за это время показатель враждебности к отцу у юношей - учеников данной школы?

Н₀: уровень враждебности к отцу у юношей в 11 классе не выше такового в 10 классе.

Н₁: показатели уровня враждебности к отцу у юношей в 11 классе значимо выше уровня враждебности, который был за год до этого - в 10 классе.

Таблица 15

Оценка значимости изменения показателя враждебности к отцу по тесту ADOR для учеников одной из школ Ленинградской области
11 класс	10 класс	Разность	Абс.значение разности	Ранговый номер
7	1	6	6	7
4	12	-8	8	9,5
12	6	6	6	7
1	2	-1	1	1,5
12	12	0
2	8	-6	6	7
8	5	3	3	4
3	3	0
5	3	2	2	3
8	7	1	1	1,5
10	2	8	8	9,5
5	1	4	4	5
14	5	9	9	11
Me= 7 q=3.75	Me=5 q=2.75
Сумма				66
T(+) =	48
T(-) =	18

Т эмп.=18. Ткр.=19 (при =0.01)

Т эмп.< Ткр. (при =0.01)  принимается альтернативная гипотеза.

Ответ: показатель враждебности к отцу у учеников 11 класса значимо выше, чем он был за год до этого (р=0.01).

L-критерий Пейджа по своему назначению схож с Т-критерием Вилкоксона, с той разницей, что он применяется для сопоставления трех и более показателей, измеренных на одной и той же выборке испытуемых. При этом он не только констатирует наличие изменений, но и указывает их направление. Критерий позволяет проверить наши предположения об определенной возрастной или ситуативной динамике. Таблицы критических значений критерия рассчитаны лишь для небольших выборок (от 2 до 12 испытуемых) и ограниченное количество сопоставляемых замеров (до 6).

Порядок действий при использовании L-критерия Пейджа следующий:

1. Проранжировать индивидуальные значения, полученные в первом, втором, третьем и т.д. замерах для каждого из испытуемых. Самому низкому значению присвоить ранг 1, самому высокому - наивысший, согласно числу замеров.

2. Просуммировать ранги по условиям, при которых выполнялись замеры. Проверить совпадение общей суммы рангов с расчетной по формуле R=nc(c+1)/2, где n - число испытуемых, с - число замеров.

3. Расположить условия в таблице в порядке возрастания ранговых сумм.

4. Определить значение L по формуле

L=(T_j^.j),

где T_j- сумма рангов по данному условию, а j - порядковый номер, приписанный данному условию в упорядоченной последовательности условий.

5. По таблицам критических значений (Таблица 9 Приложения) определить критические значения L для данного количества испытуемых N и для данного количества условий с. Если L равен критическому значению или превышает его, то тенденция достоверна.

Задача: Изменяется ли уровень тревожности испытуемых в течение дня?

Таблица 16

№	Утром	Днем	Вечером
1	8	7	8
2	4	6	8
3	5	11	10
4	4	6	9
5	4	3	8
6	3	5	13
7	6	6	7

Н₀: уровень тревожности в течение дня значимо не изменяется.

Н₁: уровень тревожности в течение дня значимо повышается.

Таблица 17.

№	Утром	Ранг	Днем	Ранг	Вечером	Ранг
1	8	2.5	7	1	8	2.5
2	4	1	6	2	8	3
3	5	1	11	3	10	2
4	4	1	6	2	9	3
5	4	2	3	1	8	3
6	3	1	5	2	13	3
7	6	1.5	6	1.5	7	3
Сумма рангов		10		12.5		19.5

Результаты ранжирования по строкам и суммы рангов для каждого из условий приведены в таблице. Проверка по формуле R = n c(c+1)/2=42 подтверждает правильность ранжирования. Колонки расположены в порядке возрастания ранговых сумм, поэтому колонка «утро» получает номер 1, колонка «день» номер 2 и «вечер» - номер 3. Теперь можно рассчитать эмпирическое значение L-критерия: L_эмп=10^х1+12.5^х2+19.5^х3 = 93.5. Эмпирическое значение критерия L_эмп больше критического L_кр=93 для уровня доверительной вероятности 95%, поэтому можно принять альтернативную гипотезу.

Ответ: тенденция увеличения уровня тревожности в течение дня является достоверной (=0.05).