19. Средние величины: простые и взвешенные, основные понятия.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от

средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значени я признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно

сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может

быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где

уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприяти и. Таким образом, возникает необходимость расчета

средней величины как обобщающей характеристики совокупности. Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, располож енных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

Хсред.=корень степени м из сумм.Хв степени н/N

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей форму лы:

Хсред.=корень степени м из сумм.Хв степени н*f/суммf

где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;

m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:

при m = -1 средняя гармоническая;

при m = 0 средняя геометрическая;

при m = 1 средняя арифметическая;

при m = 2 средняя квадратическая;

при m = 3 средняя кубическая.

20. Виды средних величин (арифметическая, геометрическая, гармоническая, хронологическая).

Гармоническая – применяется в тех случаях, когда известны варианты признака его объемов значений, но не известны частоты.

Геометрическая- используется при расчете индексов.

Арифм- для сгруппированных даннх

Хронологическая- если надо найти средний показатель за период времени с равными промежутками применяется след формула:

1

(0.5 1 2..... 0.5 1







n

x x x x

x n n

Если имеются данные на момент начала и конца наблюдения, то среднехрон :

x (xêîí xíà÷ ) /(ln xêîí ln xíà÷ )

Вид степенной

средней

Показатель

степени (m)

Формула расчета

Простая Взвешенная

Гармоническая -1

Геометрическая 0

Арифметическая

1

Квадратическая

2

21.Средняя квадратическая величина, среднее квадратическое отклонение, дисперсия.

Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической

Формула взвешенной средней квадратической

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Дисперсия - (от лат . dispersio - рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей, мера рассеивания (отклонения от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений (x1, x2,...,xn) случайной величины от их среднего арифметическогоВ теории вероятностей дисперсия случайной величины - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной и простой :