- •Учебно-методический комплекс дисциплины математика
- •080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
- •2. Распределение часов по формам учебных занятий (таблица с титульного листа рабочей программы)
- •3. Общие положения
- •3.1. Учебные и воспитательные задачи
- •3. 2. Формы и методы учебных занятий
- •3.3 Формы контроля знаний
- •Распределение часов по темам и видам учебных занятий (очная форма обучения)
- •Содержание лекционного курса
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление, экстремумы функций
- •Тема 3. Интегральное исчисление
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тема 5. Целочисленное программирование
- •Тема 6. Элементы теории игр
- •Тема 7. Сетевые методы
- •Тема 8. Элементы динамического программирования
- •Тема 9. Элементы системы национальных счетов
- •Содержание семинарских, практических и лабораторных занятий
- •6. Рекомендации по выполнению курсовой работы/курсового проекта:
- •7. Рекомендации по выполнению аудиторных и домашних контрольных работ для студентов всех форм обучения
- •8. Организация самостоятельной работы студентов (график срс)
- •9. Зачетные и экзаменационные вопросы
- •Третий семестр.
- •10. Рейтинговая система оценки знаний по математике
- •8.2 Шкала для оценки знаний студентов по дисциплине
- •11. Список литературы
- •Действия над матрицами
- •Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матриц.
- •Определители матриц второго и третьего порядка
- •Свойства определителей го порядка
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Формула Крамера
- •Метод Гаусса
- •Комплексные числа Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Аналитическая геметрия Векторы. Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Прямая на плоскости
- •Плоскость
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •3.Теория пределов Предел последовательности
- •Основные теоремы о пределах
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы
- •Классификация точек разрыва:
- •4. Производная
- •Правила дифференцирования
- •Способы нахождения производной
- •Производные высших порядков
- •Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции
- •Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Направление выпуклости. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Построение графиков функции
- •Применение производной при вычислении пределов
- •5. Неопределённый интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Правила вычисления интегралов
- •Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •6. Определённый интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла Вычисление площади
- •Вычисление длины дуги кривой
- •7. Дифференциальные уравнения
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вариант 1
- •Вариант 2
Интегрирование рациональных дробей
Определение. Функция , где и являются многочленами, называется дробно-рациональной (или просто рациональной дробью). Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.
Примеры правильных рациональных дробей:
Примеры неправильных рациональных дробей:
Если рациональная дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы некоторой целой части и правильной рациональной дроби.
Рассмотрим пример такой процедуры для дроби
Процесс выделения целой части для данной неправильной рациональной дроби напоминает процедуру деления чисел уголком:
Таким образом:
Определение. Правильные рациональные дроби вида:
I. III. , где
II. IV. , где
называются простейшими дробями соответственно I, II, III и IV типов.
Интегралы от дробей I и II типа являются табличными. Интеграл от дроби III типа требует тождественных преобразований, связанных с выделением полного квадрата в знаменателе дроби и приведение исходной дроби к табличным интегралам. Осуществляется это следующим образом (выкладки проделаны в общем виде):
Интегрирование дроби IV типа приводит к более сложным вычислениям. Поэтому этот случай не рассматриваем, а в случае необходимости рекомендуем изучить литературу, приведенную в конце данного пособия.
Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы дробей простейшего типа I-IV. Это позволяют сделать следующие теоремы:
Теорема. Если является действительным корнем кратности k для знаменателя правильной рациональной дроби , то последнюю можно представить в виде суммы двух правильных рациональных дробей:
где , а степень многочлена ниже степени знаменателя
Замечание. К правильной рациональной дроби можно повторно применить данную теорему.
В конечном итоге, после многократного применения данной теоремы, исходная дробь допускает разложение:
при этом будет несократимой рациональной дробью.
Теорема. Если , где , многочлен не делится на , то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы следующих правильных дробей:
Замечание. Применяя данную теорему к дроби и, продолжая этот процесс для вновь полученных дробей, в итоге получаем разложение:
Коэффициенты в разложениях, как в случае действительных корней, так и в случае комплексных корней, можно найти с помощью метода неопределенных коэффициентов. Суть этого метода рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 8. Вычислить интеграл
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет корень , кратность которого равна 3, и простой корень . Следовательно, эта дробь на основании приведенной выше теоремы может быть представлена в виде суммы дробей I и II типа:
Приводя к общему знаменателю дроби в правой части последнего равенства и приравнивая числители, получим:
, или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, получаем систему уравнений для :
Исходный интеграл может быть представлен:
Пример 9. Вычислить интеграл:
Решение. Разложим подынтегральную функцию на дроби простейшего типа I и III, так как в знаменателе корень: − простой действительный, а уравнение имеет простые комплексные корни.
Таким образом: