- •Учебно-методический комплекс дисциплины математика
- •080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
- •2. Распределение часов по формам учебных занятий (таблица с титульного листа рабочей программы)
- •3. Общие положения
- •3.1. Учебные и воспитательные задачи
- •3. 2. Формы и методы учебных занятий
- •3.3 Формы контроля знаний
- •Распределение часов по темам и видам учебных занятий (очная форма обучения)
- •Содержание лекционного курса
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление, экстремумы функций
- •Тема 3. Интегральное исчисление
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тема 5. Целочисленное программирование
- •Тема 6. Элементы теории игр
- •Тема 7. Сетевые методы
- •Тема 8. Элементы динамического программирования
- •Тема 9. Элементы системы национальных счетов
- •Содержание семинарских, практических и лабораторных занятий
- •6. Рекомендации по выполнению курсовой работы/курсового проекта:
- •7. Рекомендации по выполнению аудиторных и домашних контрольных работ для студентов всех форм обучения
- •8. Организация самостоятельной работы студентов (график срс)
- •9. Зачетные и экзаменационные вопросы
- •Третий семестр.
- •10. Рейтинговая система оценки знаний по математике
- •8.2 Шкала для оценки знаний студентов по дисциплине
- •11. Список литературы
- •Действия над матрицами
- •Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матриц.
- •Определители матриц второго и третьего порядка
- •Свойства определителей го порядка
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Формула Крамера
- •Метод Гаусса
- •Комплексные числа Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Аналитическая геметрия Векторы. Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Прямая на плоскости
- •Плоскость
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •3.Теория пределов Предел последовательности
- •Основные теоремы о пределах
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы
- •Классификация точек разрыва:
- •4. Производная
- •Правила дифференцирования
- •Способы нахождения производной
- •Производные высших порядков
- •Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции
- •Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Направление выпуклости. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Построение графиков функции
- •Применение производной при вычислении пределов
- •5. Неопределённый интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Правила вычисления интегралов
- •Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •6. Определённый интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла Вычисление площади
- •Вычисление длины дуги кривой
- •7. Дифференциальные уравнения
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вариант 1
- •Вариант 2
Степенные ряды
Частным случаем функционального ряда является степенной ряд.
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
,
где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Областью сходимости степенного ряда является некоторый интервал, который в частности может вырождаться в точку.
Теорема 14 (Абеля сходимости степенного ряда). Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно для всех х, удовлетворяющих условию ; если ряд расходится при некотором значении , то он будет расходиться для всех х, удовлетворяющих условию .
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Из нее следует, что существует такое число R, что ряд абсолютно сходится при и расходится при . Это число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а – интервалом сходимости.
Вопрос о сходимости ряда на концах интервала решается для каждого конкретного случая индивидуально.
Для определения радиуса сходимости применяют либо признак Даламбера, из которого следует формула либо признака Коши: .
Пример 11. Определить интервал сходимости ряда:
.
Решение. . По признаку Даламбера
Исходный ряд сходится в интервале . Исследуем сходимость на концах этого интервала. При получаем ряд
Получим гармонический ряд, который является расходящимся.
В случае получаем знакочередующийся ряд , который является сходящимся по признаку Лейбница.
Вывод: исходный степенной ряд сходится в области .
Отметим два важных свойства, строго доказываемых в математической литературе: дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Свойство 1. При дифференцировании степенных рядов в области сходимости справедливы соотношения:
.
Свойство 2. В случае интегрирования степенных рядов в области сходимости, справедливы соотношения:
Наряду со степенными рядами по степеням х, существуют степенные ряды и по степеням . Если для ряда область сходимости рассматривается относительно начала координат, то область сходимости ряда – относительно значения .
Пример 12. Найти сумму ряда
Решение. Обозначим:
По признаку Даламбера предоставляем самостоятельно убедиться, что областью сходимости данного ряда является отрезок . Тогда на основании свойства дифференцирования степенных рядов
где . Продифференцируем :
При – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
Применяя свойство интегрирования степенных рядов, получаем:
Тогда
Получаем сумму исходного ряда:
Ряды Тейлора и Маклорена
Рассмотрим функцию , которая имеет производные любого порядка в окрестности точки . Выражение
называется рядом Тейлора для функции .
Ряд Тейлора можно представить в виде:
Ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда В этом случае справедливо равенство , которое означает, что суммой ряда является функция в некоторой окрестности точки .
Если в ряде Тейлора положить , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: