10.Фундаментальное неравенство для цен антагонистических игр

Нижняя цена игры не превосходит верхнюю цену.

Следствие:

Если =β , то говорят «игра имеет цену», =β=γ, γ-седловая точка, имеет решение в чистых стратегиях.

11.Седловая точка. Теорема о седловой точке

Седловая точка – знач., миним-ое в своем столбце и макс-ое в своей строке. Теор. о седловой точке: Пара {x*,u*} удовлетворяют условия глобальной оптимальности тогда и только тогда, когда она является седловой точкой функции Лагранжа.

	В1	В2	В3	min
А1	10	11	8	8
А2	14	16	9	9
А3	7	9	6	6
max	14	16	9	9

=9, β=9,для А оптимально – А₂, для В оптимально – В₃.

Один из игроков должен получить максимальный выигрыш, а второй игрок минимальный проигрыш.

12.Понятие смешанной стратегии, чистой стратегии, активной стратегии

Если игра без седловой точки ее решение будет в смешанных стратегиях.

	B1	B2
A1	1	-1	-1
A2	-1	1	-1
	1	1

Пусть у игрока А n стратегий А₁, А₂, …, А_n – чистые стратегии. Чистыми стратегиями игрока а называются переменные им чистых стратегий с определенными вероятностями при многократном повторе. А₁ – p₁, А₂ – p₂, …, А_n - p_n.

S=	А1	А2	…	Аn	=( p1+ p2+…+ pn)
	p1	p2	…	pn

Чистая стратегия, которая входит в смешанную стратегию с ненулевой вероятностью называется активной.

S_a^*=(p₁,p₂,…,p_m), S_b^*=(q₁,q₂,…,q_m)

; - цена игры.

13.Теорема об активной стратегии. Решение игры 2×2 (формулы)

Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш всегда равен цене игры или второй игрок придерживается любой своей активной стратегии.

	B1	B2
A1	11	12	p1
A2	21	22	p2
	q1	q2

Пусть игрок А придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, а игрок В придерживается активной стратегии.

X	11	21
P	p1	p2

Средний выигрыш А – математическое ожидание

14.Графический метод решения игры 2×2

15.Доминирующие стратегии, заведомо невыгодные стратегии, упрощение игр.

Доминирующая стратегия. Простейшим примером стратегии является так называемая доминирующая стратегия. Такое положение возникает, когда один из игроков обладает лучшей стратегией независимо от того, какой стратегии следуют другие игроки. Если у каждого из игроков имеется доминирующая стратегия, то исходом такой игры будет доминирующее равновесие. Заведомо невыгодные стратегии.

Платежную матрицу нужно упростить до матрицы (2 × n) или (m × 2), для этого ищем заведомо невыгодные стратегии. Упрощение игр это вычеркивание стратегий, заведомо невыгодных для игрока. Для игрока А, если все элементы одной стратегии почленно меньше или равны элементам какой-нибудь другой стратегии (так как игрок А максимизирует выигрыш), то такая стратегия заведомо невыгодна и ее нужно удалить (в строке удаляются минимальные элементы). Для игрока В все элементы заведомо невыгодной стратегии больше или равны элементам другой стратегии (так как игрок В минимизирует проигрыш),(в столбце удаляются максимальные элементы).