24. Численные методы решение алгебраических уравнений: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона.

Предположим, что у нас определено начальное приближение х0 к одному из корней уравнения , .Тогда в точке х0 можно вычислить левую часть решаемого уравнения f(x0). Рассмотрение метода Ньютона начнем с его геометрического представления. Возьмем точку х₀ отрезка [a, b] и проведем в точке P₀ с координатами касательную к кривой y= до пересечения с осью 0х. Получим значение х₁, в котором касательная пересекает ось 0x. Угловой коэффициент касательной равен значению производной от функции в точке касания. Следовательно, уравнение касательной, проходящей через точку с координатами имеет вид :

. Полагая y=0, находим точку пересечения касательной с осью 0х, которую обозначим через х₁:

Абсциссу х₁ точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку с координатами и находя точку ее пересечения с осью 0х, получим второе приближения корня х₂ . Аналогично определяются последующие приближения. Следующие приближения находим соответственно по формулам: …

В общем случае для k-го шага итерационного процесса последнее соотношение принимает вид: x(k+1)=x(k)-f(xk)/f'(xk) Из этой формулы вытекает необходимость вычисления значения производной функции в каждой точке. Процесс нахождения корня может считаться законченным, когда модуль отношения значения функции в точке xk к ее производной меньше заданной величины погрешности |f(xk)/f'(xk)|<E , т.е. когда выполняется следующее условие: |x(k+1)-x(k)|<E Таким образом, для реализации метода Ньютона необходимо: Задать в явном виде уравнение f(x) , корни которого необходимо определить. Определить первую производную функции в аналитическом виде. Определить начальное приближение х0, обеспечивающее быструю сходимость метода. Задать точность нахождения корня уравнения . Реализовать в программе итерационную процедуру, реализующую формулу. В модифицированном методе мы берём только одну производную, от х(0), начальное приближение, следовательно и график будет строиться по другому. Касательные будут проходить параллельно друг другу.

25. Численные методы решение алгебраических уравнений: метод секущих. Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х₀ и х₁.Если х₀ и x₁ расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного к отношению приращения аргумента равного (x₁ – x₀):

(2.4)

Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона: заменой производной выражением (2.4) и записана в виде:

(2.5)

Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления.

Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения.

Таким образом, для реализации метода секущих необходимо:

Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить.

Определить начальные приближения х₀ и х₁, обеспечивающие быструю сходимость метода.

Задать точность нахождения корня уравнения .

Реализовать в программе итерационную процедуру, реализующую формулу (2.5).

Результатом проведения лабораторной работы является программа, реализующая один из описанных методов с решением контрольного примера согласно, полученного индивидуального задания.