35. Численные методы восстановления функций: метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов — один из методов для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции более простыми функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на теории вероятностей. Само правило арифметической середины представляет, простейший случай метода наименьших квадратов.

Если набор экспериментальных данных (узлов интерполяции) получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами или сплайнами. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки (узлы), но в то же время отражает исследуемую зависимость.

Пусть восстанавливаемая функция задана таблицей 1 на интервале .

Таблица 1

x	f(x)
x0	f0
…	…
xn	fn

Введем непрерывную функцию для аппроксимации функции .

Отклонение функции от в узловых точках определяется (3.5.1):

(3.5.1)

Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от восстанавливаемой в узловых точках была минимальна (3.5.2):

(3.5.2)

Такой способ построения аппроксимирующей функции называется метод наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции в виде линейной комбинации (3.5.3):

(3.5.3)

- базисные функции; ; - коэффициенты, которые определяются из условия (3.5.2).

Условия минимума функции : частные производные по коэффициентам должны быть равны нулю(3.5.4):

(3.5.4)

Из системы (3.5.4) определяются коэффициенты .

В матричном виде система (3.5.4) выглядит так (3.5.5):

Матрица системы (3.5.4) имеет вид (3.5.5):

, (3.5.5)

где

- скалярное произведение базисных функций.

- скалярные произведения элементов столбца свободных членов.

37. Методы численного интегрирования: постановка задачи, метод прямоугольников

Очень часто в процессе решения конкретных задач, как в научной, так и в инженерной практике возникает необходимость вычисления определенных интегралов вида:

.

Метод прямоугольников:

Простейшим полиномом является константа. В формуле прямоугольников функция аппроксимируется своим значением в точке a (или в точке b), т.е.

(5.1)

Если значение функции берется в точке a, то формула (5.1) носит название формулы левых прямоугольников.

Р ис 5.2. Метод средних прямоугольников.

Для подсчета интеграла разделим интервал интегрирования на n равных отрезков длины . На каждом из отрезков функция заменяется прямоугольником с отрезками как основаниями, равными h и вертикальными боковыми сторонами высотой f(x_i). При этом точка x_i выбирается, как середина каждого элементарного отрезка. Метод “средних” прямоугольников (метод средних) является более точным, чем методы “левых” и “правых” прямоугольников, когда в качестве точек могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков.

С геометрической точки зрения означает, что площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами f(x_i) где ..

Для интервала и шага интегрирования h полная формула будет записана в виде:

(5.2)

где n - число разбиений для интервала [a,b], и точка x₀ совпадает с a.