4.4 Побудова рішення лінійної задачі теорії пластичності

В умовах однорідного напруженого стану (незмінність напружень по товщині) побудуємо рішення з використанням різних законів тертя на контакті.

В циліндричних координатах.

Використаємо інженерний метод рішення Унксова для осадки кругового циліндра, діаметром и товщиною до деформації и . При розгляді маємо гіпотезу плоских перерізів, що зазначає незалежність напружень від вертикальної координати Z.

Виріжмо з циліндра [8] двома радіальними и двома окружними радіусами і перерізами секторний елемент товщиною, рівний товщині циліндра . Рівняння рівноваги елемента має вид

Після спрощень маємо

.

Умова пластичності . Приймаємо до уваги, що

(4.17)

Використовуючи вираз (4.17) і різні закони тертя ( різні граничні умови)

маємо змогу вирішити задачу з різними контактними умовами. Розглянемо варіант використання постійності сили тертя на контакті, при

.

Після інтегрування

. (4.18)

Використав граничні умови маємо

.

Таким чином

. (4.19)

Зусилля стиску

. (4.20)

Середнє контактне напруження

. (4.21)

Недоліком цієї формули є те, що не ураховується коефіцієнт тертя.

Розглянемо другий варіант рішення, коли сила тертя є змінною силою, має місто закон тертя Амонтона . Тоді

. (4.22)

Після інтегрування маємо

. (4.23)

З граничних умов, при , , тоді

.

З урахуванням постійної

. (4.24)

Порівнюючи вирази (4.19) і (4.24) бачимо, що зі зміною граничних умов змінюються функції, якими описується розподіл напружень на контакті. В останньому випадку контактні напруги залежать від коефіцієнту тертя.

Зусилля стиску

. (4.25)

Середнє контактне напруження

. (4.26)

Розрахунки по формулам (4.20), (4.21) та (4.25), (4.26) вказують на значний вплив граничних умов на кінцевий результат. В курсовій роботи для деяких завдань треба зробити порівнянний аналіз впливу граничних умов на зусилля та напружений стан деформованого матеріалу.

При прокатці також розглядається лінійна задача, відсутність зміни нормальних напружень від вертикальної координати. Використовуються обидва закони тертя Амонтона та Зібеля. В першому випадку О.І. Целіковим були получені формули для нормальних контактних напружень у вигляді

для зони відставання

, (4.27)

для зони випередження

. (4.28)

У другому випадку О.П. Чекмарьовим були получені формули для нормальних контактних напружень у вигляді:

- для зони відставання

, (4.29)

- для зони випередження

. (4.30)

В виразах (4.27)…(4.30) використовуються різні змінні і .

Середнє контактне напруження по О.І. Целікову

. (4.31)

Середнє контактне напруження по О.П. Чекмарьову

(4.32)

Повне зусилля при прокатці з використанням формул (4.31) і (4.32) має вигляд

. (4.33)

Формулою О.І. Целікова (4.31) користуються при холодній прокатці, формулою О.П. Чекмарьова (4.32) – при гарячій прокатці.