- •Функции нескольких переменных
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность фнп
- •3. Частные производные фнп
- •4. Полный дифференциал фнп
- •5. Дифференциалы высших порядков
- •6. Дифференцирование сложных функций
- •7. Дифференцирование неявных функций
- •8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •9. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка
- •10. Производная по направлению
- •11. Градиент скалярного поля
- •12. Формула Тейлора для фнп
- •13. Экстремум функции нескольких переменных
- •14. Условный экстремум
- •1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов
- •2. Необходимый признак сходимости ряда
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •4. Признаки Даламбера и Коши
- •5. Интегральный признак сходимости
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Абсолютная сходимость рядов
- •8. Действия над рядами
- •9. Степенные ряды. Определение.
- •10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля
- •11. Свойства степенных рядов
- •12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Определение ду. Решение ду. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения
- •2. Решение уравнений с разделяющимися переменными, примеры
- •Однородные функции. Решение однородных ду первого порядка, примеры
- •4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры
- •5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры
- •6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры
- •7. Определение ду второго порядка. Решение ду, задача Коши, общее и частное решения
- •8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры
- •1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •9. Линейные однородные ду второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение
- •10. Линейные неоднородные ду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •11. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородных ду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •12. Линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении однородного уравнения
- •13. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения
6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры
Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. (16)
(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах. Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется . Пример: найти общее решение уравнения . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь ; , т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что Из первого уравнения . Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: . Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим . Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид .
14.3.6. Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x0, y0) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x0, y0) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y(x0) = y0 не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.