- •Функции нескольких переменных
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность фнп
- •3. Частные производные фнп
- •4. Полный дифференциал фнп
- •5. Дифференциалы высших порядков
- •6. Дифференцирование сложных функций
- •7. Дифференцирование неявных функций
- •8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •9. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка
- •10. Производная по направлению
- •11. Градиент скалярного поля
- •12. Формула Тейлора для фнп
- •13. Экстремум функции нескольких переменных
- •14. Условный экстремум
- •1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов
- •2. Необходимый признак сходимости ряда
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •4. Признаки Даламбера и Коши
- •5. Интегральный признак сходимости
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Абсолютная сходимость рядов
- •8. Действия над рядами
- •9. Степенные ряды. Определение.
- •10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля
- •11. Свойства степенных рядов
- •12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Определение ду. Решение ду. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения
- •2. Решение уравнений с разделяющимися переменными, примеры
- •Однородные функции. Решение однородных ду первого порядка, примеры
- •4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры
- •5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры
- •6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры
- •7. Определение ду второго порядка. Решение ду, задача Коши, общее и частное решения
- •8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры
- •1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •9. Линейные однородные ду второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение
- •10. Линейные неоднородные ду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •11. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородных ду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •12. Линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении однородного уравнения
- •13. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения
9. Линейные однородные ду второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение
Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 3.2. Если функции y1=y1(x) и у2=у2(х) являются частными решениями уравнения (3.13), то решением этого уравнения является также функция
где c1 и с2 - произвольные постоянные. Подставим функцию у=c1y1+с2у2 и ее производные в левую часть ЛОДУ (3.13). Получаем:
так как функции y1 и у2 - решения уравнения (3.13) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция у=c1y1+c2y2 также является решением уравнения (3.13).
Из теоремы 3.2, как следствие, вытекает, что если y1 и у2 - решения уравнения (3.13), то решениями его будут также функции у=y1+y2 и у=cу1.
Функция (3.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (3.13). Может ли она являться общим решением уравнения (3.13)?
Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции y1=y1(x) и у2=у2(х) называются линейно независимыми на интервале (а;b), если равенство
где a1,a2 є R, выполняется тогда и только тогда, когда a1=a2=0.
Если хотя бы одно из чисел a1 или а2 отлично от нуля и выполняется равенство (3.15), то функции у1 и у2 называются линейно зависимыми на (а;b).
Очевидно, что функции y1 и у2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех х є (a;b) выполняется равенртво или Например, функции y1=3ех и у2=ех линейно зависимы: y1/y2=3=const; функции y1 и у2=е2x - линейно независимы: функции у4=sin х и у5=cos x являются линейно независимыми: равенство a1 sin x+а2 cos х=0 выполняется для всех х є R. лишь при a1=а2=0
Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский - польский математик).
Для двух дифференцируемых функций y1=y1(x) и у2=у2(х) вронскиан имеет вид
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 3.3. Если дифференцируемые функции y1(x) и у2(х) линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Так как функции y1 и у2 линейно зависимы, то в равенстве (3.15) значение a1 или а2 отлично от нуля. Пусть a1≠0, тогда поэтому для любого х е (а;b)
Теорема 3.4. Если функции y1(x) и у2(х) - линейно независимые решения уравнения (3.13) на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Доказательство теоремы опустим.
Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений у1(х) и у2 (х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у=a1y1(x)+a2y2(x).
Пример 3.4. Частные решения у1=sinx и у2=cosx, у3=2sinx и у4=5cosx (их бесчисленное множество!) уравнения у''+у=0 образуют фундаментальную систему решений; решения же у5=0 и уб=cosx - не образуют.Теперь можно сказать, при каких условиях функция (3.14) будет общим решением уравнения (3.13).
Теорема 3.5 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных решения y1=y1(x) и у2=у2(х) ЛОДУ (3.13) образуют на интервале (а;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция
где c1 и с2 - произвольные постоянные.
Согласно теореме 3.2, функция (3.16) является решением уравнения (3.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
где хо є (a;b).
Подставив начальные условия (3.17) в решение (3.14), получим систему уравнений
где уо=у(хо), уо=у'(хо), с неизвестными с1 и с2. Определитель этой системы
равен значению вронскиана W(x) при х=хо.
Так как решения y1(x) и у2(х) образуют фундаментальную систему решений на (а; b) и хо є (а;b), то, согласно теореме 3.4, W(x0)≠0. Поэтому система уравнений имеет единственное решение:
Решение у=c01y1(x)+c02y2(x) является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (3.13), удовлетворяющим начальным условиям (3.17). Теорема доказана.