- •Функции нескольких переменных
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность фнп
- •3. Частные производные фнп
- •4. Полный дифференциал фнп
- •5. Дифференциалы высших порядков
- •6. Дифференцирование сложных функций
- •7. Дифференцирование неявных функций
- •8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •9. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка
- •10. Производная по направлению
- •11. Градиент скалярного поля
- •12. Формула Тейлора для фнп
- •13. Экстремум функции нескольких переменных
- •14. Условный экстремум
- •1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов
- •2. Необходимый признак сходимости ряда
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •4. Признаки Даламбера и Коши
- •5. Интегральный признак сходимости
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Абсолютная сходимость рядов
- •8. Действия над рядами
- •9. Степенные ряды. Определение.
- •10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля
- •11. Свойства степенных рядов
- •12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Определение ду. Решение ду. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения
- •2. Решение уравнений с разделяющимися переменными, примеры
- •Однородные функции. Решение однородных ду первого порядка, примеры
- •4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры
- •5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры
- •6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры
- •7. Определение ду второго порядка. Решение ду, задача Коши, общее и частное решения
- •8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры
- •1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •9. Линейные однородные ду второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение
- •10. Линейные неоднородные ду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •11. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородных ду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •12. Линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении однородного уравнения
- •13. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения
4. Признаки Даламбера и Коши
Теорема. (Признак Даламбера) Пусть дан знакоположительный числовой ряд (7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие или p-E< (10)
Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем … или
или (11)
Рассмотрим ряды (12) . (13)
Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Замечания.
1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то un¹0.
2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.
3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера. un= un+1= . следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Теорема (Признак Коши)
Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)
и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие | | <E или p-E< <p+E. (14)
Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем <q или un<qn для всех n³N. Рассмотрим ряды (15) (16)
Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или un>1, следовательно, un¹0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
5. Интегральный признак сходимости
Теорема . (Интегральный признак Коши)
Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом
Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3,…,un.
Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,
Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.
Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем Sn-u1< < Sn-un. Отсюда Sn<u1+ (17)
и Sn>un+ (18)
Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: Sn<u1+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.
Пример.
Исследуем с помощью интегрального признака Коши обобщённый гармонический ряд
Очевидно, f(x)= . При к≠1 имеем =
При к=1 имеем
Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k≤1.