Поворот вокруг фиксированной точки

 

 

Р` = Р·М,

где М = Т(-X₀, - Y₀) ∙R(φ)∙T(X₀, Y₀) – матрица преобразований.

 

Смещаем точку Возвращаем точку

в начало координат в исходное состояние

В результате произведений матриц получаем матрицу преобразования M:

 

1 0 0 cos(φ) sin(φ) 0 1 0 0

M = 0 1 0 · –sin(φ) cos(φ) 0 · 0 1 0 =

–X₁ –Y₁ 1 0 0 1 X₁ Y₁ 1

 

 

 

cos(φ) sin(φ) 0

= –sin(φ) cos(φ) 0

X₁·(1–cos(φ))+Y₁·sin(φ) Y₁·(1–cos(φ)) –X₁·sin(φ) 1

 

  

В общем случае матрицу преобразований можно записать следующим образом:

m₁₁ m₁₂ 0

M = m₂₁ m₂₂ 0 ; P` = P·M

m₃₁ m₃₂ 1

Перейдём к алгебраическому выражению:

x’ = x · m₁₁ + y · m₂₁ + m₃₁

y’ = x · m₁₂ + y · m₂₂ + m₃₂

29. Параметрическое описание кривых.

В параметрическом виде каждая координата точки кривой представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром t координаты точки равны:

x =x(t)

у =y(t)

Тогда векторное представление точки на кривой:

P(t)=[ x(t) y(t)]

Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить t из двух уравнений и вывести одно в терминах x и y.

Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т е касательный вектор, есть P(t) =[ x'(t) y'(t)],

где’ обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, dx/dy, равен

О тметим, что при х’(t) = 0 наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей достаточно приравнять нулю одну компоненту касательного вектора.

Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длтна кривой определяется диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой к О < t < 1.

Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования рассмотренные.

Самое простое параметрическое представление у прямой. Для двух векторов положения P₁ и P₂ параметрический вид отрезка прямой между ними такой:

P(t)=P₁+(P₂-P₁)t, 0<t<1

Так как З(е) это вектор, у каждой его составляющей есть параметрическое представление х(t) и у(t) между P₁ и P₂:

x(t)=x1+(x2-x1)t

y(t)=y1+(y2-y1)t

30. Кубические кривые в форме Безье.

31. Формат файлов для хранения растровых изображений

Растровые форматы служат для описания растровой графической информации. Каждый отдельный пиксел изображения представляет самого себя, вне зависимости от его расположения и роли, которую он играет в рисунке. Наиболее распространенные из них: ТIFF,

BMP, РCX, GIF, JPEG, PNG. Графические компоненты всемирной сети Internet в подавляющем большинстве представлены последними тремя форматами.

Разрешающая способность файлов таких форматов,. как ВМР, GIF, JPEG зависит от видеосистемы компьютера. В старых компьютерах Масintosh приходилось 72 пиксела на дюйм экрана (экранная разрешающая способность), для Windows наиболее часто потребляется значение 96 пикселов на дюйм экрана. Однако теперь эти параметры стали довольно условными, так как почти все видеосистемы современных компьютеров позволяют изменять количество отображаемых на экране пикселов Растровые файлы предназначенные для подготовки изданий в печать, имеют, подобно большинству векторных форматов, параметр PrintSize$iге — печатный размер.

Растровые форматы один от другого отличаются следующими свойствами цветовыми моделями методами сжатия максимальным размером обеспечиваемого изображения поддержкой слоев разных типов, наличием Alpha-канала или канала плашковых (Spot)-цветов, возможностью осуществлять анимацию, наличием чересстрочного развертывания и т п.