Вопрос 29. Второй замечательный предел:

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Так как  , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).

Так как  , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).

Так как  , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).

Так как  , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).

Так как

,

то

,

и в этом случае имеет место равенство

В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени

.

Поэтому при х = 0 имеем  .    Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например,

.

Так как

,

то

ln (1 + x) ~ x,

и в этом случае имеет место равенство

ln (1 + x) = x + o(x).

Так как

,

то

  .

Так как

,

то

e^x ~ 1 + x,

и в этом случае имеет место равенство

e^x ~ 1 + x + o(x).

В случае натурального k имеем

поэтому для натурального k имеем  , и в этом случае имеет место равенство

(1 + x)^k = 1 + k·x + o(x)

Так как

,

то

a^x ~ 1 + x·ln a,

и в этом случае имеет место равенство

a^x ~ 1 + x·ln a + o(x)

Так как

,

то

,

и в этом случае имеет место равенство

Вопрос 30.

ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ

- предел функции в некой точке справа или слева. Пусть f - отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич. пространство Y и   . Предел отображения f по любому интервалу   наз. пределом слева отображения f и обозначают

(он не зависит от выбора  ), а предел по интервалу   наз. пределом справа и обозначают

(он не зависит от выбора  ). Если точка   является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел

по проколотой окрестности точки х ₀ (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х ₀ существуют пределы слева и справа и они равны между собой.

Либо вики http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB

Непрерывность функции f (x) = |x|

  Функция f (x) = | x |. определена и непрерывна во всех табличках числовой прямой.    Действительно, в точках полупрямой (0; + ∞) функция f(x) = x непрерывна. В точках полупрямой (- ∞; 0) функция f( x ) = − x также непрерывна. Чтобы установить непрерывность функции в точке x = 0 вычислим односторонние пределы функции в этой точке

  

Пределы функции в точке х = 0 слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой.

Классификация точек разрыва функции

  Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.   Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.   Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

  Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.   Так для функции

в точке х = 0 односторонние пределы равны

,

то х = 0 является точкой разрыва второго рода