Вопрос 10.

Скалярным произведением векторов называется число равное произведению их модулей на косинус угла ( угол между ) Равно по определению

(1)

Скалярное произведение в координатах

  Свойства скалярного произведения: 1)         = | ²;

2)         = 0, если    или  = 0 или   = 0.

3)         =   ;

4)       ( + ) =   +   ;

5)      (m )  =  (m ) = m(  ); m=const

Скалярное умножение векторов в координатах

Таблица умножения ортов координатных осей.

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

i=

j=

k=

i,j,k – орты единичных отрезков

Вывод формулы 2 + +

+ +

=( +

+(

Модулем (длиной) вектора   называется длина(норма) соответствующего вектора AB и обозначается как .

В евклидовом n-мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя, в том случае если это произведение задано как (x,y)=x₁ * y₁ + x₂ *y₂,...,xn * yn),где (x₁,x₂,...,xn) (y₁,y₂,...,yn) координаты векторов x,y в каком-то базисе - то оно:  .

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Вопрос 11.

Векторным произведением называется вектор

Определяемые условиями 1) вектор с ортогонален каждому из векторов a и b (перпендикулярен) 2) длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла  ; между ними

3) вектор   направлен так, что тройка векторов   является правой.

таблица

a \ b	i	j	k
i	0	k	-j
j	-k	0	i
k	j	-i	0

Векторное произведение в координатах

Пусть   ,   . Тогда

  Доказательство.     По условию   , 

(решение)

(1)

По таблице умножения   . Аналогично находим   ,  Подставим в формулу (1) получим:

Вопрос 12.

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами  .

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

                        а)хоть один из векторов равен нулю;

                        б)два из векторов коллинеарны;

                        в)векторы компланарны.

            2)

            3)

            4)

            5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами  ,   и  , равен

            6)Если  ,  , то

 

Представим перемножаемые векторы в разложении по базисным векторам декартовой системы координат и перемножим их, воспользовавшись свойствами векторного произведения,

Как видно, векторное произведение представляется определителем третьего порядка, в первой строчке которого проставляются базисные векторы декартовой системы координат, во второй строчке — координаты первого вектора – сомножителя, в третьей строчке — координаты второго вектора – сомножителя.   Используя свойства определителей, можно обосновать свойства векторного произведения. Так свойство

соответствует изменению знака определителя при перестановке двух его строк. Далее, если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, это соответствует пропорциональности второй и третьей строчек. То есть, условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат. Пример

Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

 

Найдем координаты векторов: 

Объем пирамиды 

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн =  (ед²)

Т.к. V =  ;      (ед)