- •Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
- •Вопрос 2.
- •I. Минор
- •II. Алгебраические дополнения
- •Вопрос 4. Определители любого(Высших??) порядка. Свойства определителей.
- •Вопрос 5.
- •Матрица 2х2
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 8.
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Свойства обратной матрицы
- •Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
- •Вопрос 18. Прямая на плоскости. Общее урав прямой в вопросе 16. Взаимное расположение двух прямых
- •Вопрос 19.20,21,22 (общее)
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24.
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Вопрос 25.
- •Вопрос 26.
- •Вопрос 27.
- •Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций
- •Вопрос 29. Второй замечательный предел:
- •Вопрос 30.
- •Вопрос 31. (32)
- •Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
- •Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
- •Вопрос 35 (36) Основные правила дифференцирования
- •Вопрос 36 (37) Экстремум функции
- •Вопрос 37 (38)
- •Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
- •Вопрос 39 (40).
- •Вопрос 40 (41).
- •Вопрос 41 (42)
- •Вопрос 42 (43)
- •Вопрос 43 (44) Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
- •Вопрос 45 (46) Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 47 (48) 1.А)Найти одз и точки разрыва функции.
Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
если то f строго возрастает на (a,b);
если то f строго убывает на (a,b).
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно бытьплотно на интервале (a,b). Точнее имеет место
(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда fстрого возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
"Условия монотонности функции (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале): Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда - f НЕ УБЫВАЕТ на (a,b) тогда и только тогда, когда ...далее по тексту f НЕ ВОЗРАСТАЕТ на (a,b) тогда и только тогда, когда ...далее по тексту"
Экстремум функции
Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2 )).
Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ( x ) 0 ( f ( x ) 0).
Точка x о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) f ( x о ) ( f( x ) f ( x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ( x о ) = 0, либо f ( x о ) не существует. Такие точки называюткритическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ( x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f ( x ) имеет производную f ( x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f ( x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].