- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Система векторов а1, а2, …, аn называется базисом линейного пространства V, если выполнены следующие условия: 1) эти векторы линейно независимы; 2) любой вектор а из V является линейной комбинацией векторов данной системы, т. е. а = k1 а1 + k2 а2 + … + kn аn
Предложение: координаты вектора в данном базисе определены однозначно. Док-во: пусть существует два разложения данного вектора а по базису а1, а2, …, аn а = k1 а1 + k2 а2 + … + kn аn а = l1 а1 + l2 а2 + … + ln аn
Так как левые части равны, то правые также равны: k1 а1 + k2 а2 + … + kn аn = l1 а1 + l2 а2 + … + ln аn (k1 - l1) а1 + (k2 - l2) а2 + …+ (kn - ln) аn = 0
Так как векторы базиса линейно независимы, то k1 - l1 = 0 → k1 = l1
ч. т. д.
Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
Размерностью пространства V называется число векторов его базиса. Размерность пространства V обозначается через dimV. Линейное пространство, имеющее размерность n, называют n-мерным.
В n-мерном пространстве V любая система из s векторов, где s>n, линейно зависима. А из определения базиса линейного пространства следует, что система векторов должна быть линейно независима. Следовательно, система из s векторов, где s>n, не может являться базисом n-мерного пространства V.
Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
Нет, нельзя. Так как размерность Rn+1 равна n + 1, то любой базис пространства Rn+1 должен содержать n + 1 линейно независимых векторов. Пусть a1, ...an - линейно независимы и входят в некоторый базис {a1, ...an, an+1} пространства. Но тогда вектор an+1 нельзя получить с помощью линейной комбинации векторов a1, ...an, так как в этом случае система векторов a1, ...an, an+1 будет линейно зависимой, что противоречит определению базиса.
Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
Подпространством линейного пространства R над полем K называется любое непустое подмножество M этого пространства, на котором корректны операции сложения элементов и умножения элемента на число, которые введены в исходном линейном пространстве R.
Примеры подпространств:
) Прямая (подпространство) на плоскости (пространство)
) Плоскость (подпространство) в пространстве R3 (пространство)
) Все матрицы вида ab, a = -d, подпространство пространства всех c-a матриц 2х2
Одно из свойств подпространств говорит о том, что размерность подпространства не превосходит размерности самого пространства (так как подпространство является подмножеством пространства).
Теор. Подпр-во является линейным пр-вом
Для любых двух векторов а, в, из S их сумма также принадлежит лин пространству
Произведение а на действительное число тоже принадлежит данному пространству
Размерность родпростарнства S (неравно 0) меньше пр-ва V. Если бы их размерность была равна, то базис подпространства S являлся бы базисом V, Следовательно S и V совпали бы.