- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
а) задает подпространство M, так как это уравнение определяет прямую (одномерное подпространство) на плоскости, проходящее через (0,0) и для него выполнены условия подпросранства.
б) не задает подпространства, так как нарушается 2ое условие: Пример: x = (1, 0) 2 M.
При этом 2 · x = (2, 0) не принадлежит M.
в) не задает подпространства, так как нарушается первое условие
2. Системы линейных уравнений
Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной (появление противоречивой строки)
Например:
2*х1 + 3*х2 + х3 - 2*х4 =9
7*х1 + 8*х2 – х3 - 2*х4 =5
3*х1 + 2*х2 - 3*х3 + 2*х4 =10
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.
Например:
Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной.
Например: (имеет единственное решение)
х1+2*х2+3*х3=7
2*х1-х2+х3=4
3*х1-2*х2-х3=3
Систему называют неопределенной, когда она имеет бесконечно много решений (если число переменных больше, чем количества уравнений)
!!Любая однородная система совместна!!
Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
Решим систему относительно х1,х2,х3. .
Каждый раз меняя значения, мы будем получать разные решения.
Докажите, что множество решений однородной системы из уравнений с неизвестными является подпространством пространства . Какова размерность этого подпространства? Ответ обоснуйте.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
Решение системы х = (x1, x2, …, xn). Пусть b = (b1, b2, …, bn), c = (c1, c2, …, cn) – являются решениями системы. Тогда b+с =(b1+c1, b2+c2, …, bn+cn) является решением системы (подставить в систему, раскрыть скобки). Для любого k ϵ R и b = (b1, b2, …, bn) kb = (kb1, kb2, …, kbn) также является решением системы. Значит, множество решений СОЛУ является подпространством Rn, т. к. замкнуто относительно операций сложения и умножения вектора на число. Размерность равна m-r(рангу системы векторов).
Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
Теорема (Кронекера и Капелли): Неоднородная система уравнений Ax = b совместна тогда и только тогда, когда rangA = rangB (где B - расширенная матрица системы (B = [A|b]), получающаяся из A дописыванием свободного столбца b).
Теорема: Общее решение неоднородной системы линейных уравнений Ax = b имеет
вид x = x0 +c1x1 +...+crxr, где x0 - некоторое (частное) решение неоднородной системы,
а c1x1 + ... + crxr - общее решение однородной системы Ax = 0. Пример:
A =1 1 1
1 1 −1
b=3
1 , x∈ R3.
Здесь x0 = (1, 1, 1) - частное решение неоднородной системы. x1 = (1,−1, 0) - общее
уравнение однородной системы. Тогда решение x = (a, b, c) неоднородной системы:x = (a, b, c) = x0 + αx1 = (1, 1, 1) + α(1,−1, 0) = (1 + α, 1 − α, 1)