Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин

Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть Х₀, Х₁, …,Х_ – независимы и Х_i ~ ~N(0;σ), σ>0, тогда случайная величина имеет по определению t-распределение c  степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

.

Если ν → ∞, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

График плотности распределения симметричен относительно прямой х = 0. По виду он напоминает нормальное распределение, но он более «пологий», с утяжеленными хвостами.

Обозначим F(x, σ) – функцию распределения случайной величины t_. Если Х_i ~ N(0;σ), то случайные величины также независимы и Y_i ~ N(0, 1). Тогда

.

Таким образом, t-распределение не зависит от параметра σ.

Аналогично предыдущему можно показать, что если X_i – независимы, и Х_i ~ N(a;σ), то распределение Стьюдента имеет также величина .

Если Х_i ~ N(0, 1), i =1, …,, то получим, что распределение Стьюдента имеет случайная величина , где имеет ²-распределение.

Распределение Стьюдента табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве средних).

Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть Х₀, Х₁, …, Х_n1, Х_n1+1, …, Х_n1+n2 – независимые нормально распределенные случайные величины Х_i ~ N(0;σ), i = 1,2, …, n₁+n₂. Тогда случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы n₁, n₂. Распределение Фишера также не зависит от параметра , т.е.

.

Если X_i – независимые и Х_i ~ N(a;σ), то

имеет распределение Фишера.

Положим  = 1, получим, что распределение Фишера имеет случайная величина

,

где – случайные величины, имеющие распределение .

При больших n₁, n₂ распределение Фишера приближается к нормальному.

Распределение Фишера табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий).

Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения (или плотность распределения) дает полную информацию о случайной величине. Однако часто бывает достаточно знать одну или несколько числовых характеристик случайной величины, которые давали бы менее полное, но более наглядное представление о случайной величине. В большинстве случаев достаточно знать некоторое «среднее» число, вокруг которого группируются все значения случайной величины (центральную тенденцию случайной величины), и ту или иную характеристику вариации значений случайной величины (степень рассеивания).

Основной наиболее употребляемой характеристикой центральной тенденции является математическое ожидание МХ случайной величины.

Определений 1. Пусть Х – дискретная случайная величина, , , тогда

, (1)

если ряд сходится абсолютно.

Определений 2. Пусть Х – непрерывная случайная величина, p(x) – плотность распределения, тогда

, (2)

если интеграл сходится абсолютно.

Найдем математические ожидания случайных величин некоторых известных законов распределения.

1. Пусть Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

, >0, m = 0, 1, 2,…

По формуле (1) имеем . Следовательно,

МХ = . (3)

2. Пусть Х имеет экспоненциальное распределение с параметром ,

.

По формуле (2) имеем

.

Следовательно

МХ = . (4)

Пусть Х имеет равномерное распределение на интервале [a,b]

.

Тогда по формуле (2) имеем

Следовательно

МХ = . (5)

Определим некоторые операции над дискретными случайными величинами.

Произведением сХ случайной величины Х на постоянную величину с называется случайная величина, которая принимает значения сх_i с теми же вероятностями р_i.

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y_j (x_i – y_j x_iy_j) с вероятностями p_ij, того, что случайная величина Х примет х_i, а Y – значения y_j (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, m)

p_ij = P[(X = x_i), (Y = y_j)].

Если случайные величины X и Y независимы, т.е. независимы любые события Х = х_i, Y = y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем

p_ij = P[(X = x_i),(Y = y_j)] = p_ip_j.

Теорема 1. Если Y = φ(X) – функция непрерывного случайного аргумента Х, возможные значения которого принадлежат всей оси ОХ, а р(х) – плотность распределения Х, то

,

если интеграл сходится абсолютно.

Эта теорема справедлива и для конечного отрезка возможных значений Х.

Теорема 2. Пусть Х – дискретная случайная величина принимающая значения х₁, х₂, …, х_n, Р(Х = х_i) = p_i, φ(х) – некоторая функция, тогда

,

если ряд сходится абсолютно.