Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если с – постоянная, то MX = c.

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения с с постоянной вероятностью p = 1, тогда по формуле (1) имеем

MX = 1c = c.

2. M(сX) = сMX.

Это свойство следует из теорем 1, 2.

3. Если определены MX и MY, то

M (X + Y) = MX + MY,

причем это свойство верно как для зависимых, так и для независимых случайных величин.

Доказательство. Докажем это свойство для конечных дискретных случайных величин. В соответствии с определением суммы случайных величин X+Y представляют случайную величину, которая принимает значения x_i + y_j с вероятностью

p_ij = P[(X = x_i), (Y = y_j)],

поэтому

M(X + Y) = .

Так как в первой двойной сумме x_i не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование по второй сумме, и аналогично, во второй двойной сумме y_j не зависит от индекса i , то

M(X + Y)=

Мы воспользовались свойством, что (см. лекцию 8)

4. Если Х и Y независимы, то M (X Y) = MX MY

Доказательство.

M(X,Y) =

Пример 1. Найдем математическое ожидание нормальной случайной величины Х ~ N(a, ).

Таким образом, МХ = а.

Пример 2. Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли.

Пусть Х имеет биномиальное распределение: .

Обозначим через X_i – случайную величину, равную числу успехов в i-м испытании, тогда

Р(Х_i = 0) = q, Р(Х_i = 1) = p, MX_i = 0q + 1p=p, но

Таким образом, МХ = np.

Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)

Пусть Z = (X,Y) – двумерная случайная величина. Рассмотрим, как найти условное среднее случайной величины Z при условии, что Y = y. Предположим, что Z – дискретная случайная величина, p_ij = P(X = x_i, Y = y_j), . На предыдущих лекциях (лекция 8) нами было показано, что

; ,

и что условные вероятности

;

удовлетворяют условиям

Поэтому при фиксированных у_j и х_i, вероятности P(X = x_i/Y = y_j), P(Y = y_j/X = x_i) можно рассматривать как условные распределения случайных величин Х (при условии, что Y = y_j) и Y (при условии, что Х = х_i). Тогда

Предположим, что Z – непрерывная двумерная случайная величина, p_z(Х,Y) – плотность Z; p_x(x) – плотность X; p_y(y) – плотность Y. Тогда условную плотность распределения Х при условии, что Y = y, определим

,

а условную плотность распределения Y при условии, что Х = х, определим

.

Найдем условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y в соответствии с формулой (2) предыдущей лекции

M(X/y) = M(X/Y = y)=

Аналогично,

.

Функция f_x(y) = М(Х/у) каждому у ставит в соответствие условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y, т.е. она отражает зависимость от у условного среднего Х. Функция f_x(y) = М(Х/у) называется функцией регрессии Х на У.

Аналогично, функция f_у(х) = М(Y/x) называется функцией регрессии Y на Х.

Найдем математическое ожидание от математического ожидания М(X/у). Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин.

Таким образом, M(M(X/y)) = MX и называется формулой полного математического ожидания.