Другие характеристики центра группирования случайной величины

1. Среднегеометрическое случайной величины Х: G(Х) = e^{M(ln Х)}.

Пусть Х – дискретная случайная величина, имеющая равномерное распределение.

, тогда

– среднее геометрическое.

2. Среднее гармоническое: .

Используется в экономике в индексных расчетах.

3. Медиана: M_e(x) – квантиль x_p, соответствующая вероятности p = 0,5.

Точка х_р, являющаяся решением уравнения F(x_p) = р, называется квантилью распределения. Медиана используется в качестве характеристики среднего, если случайная величина измерена в порядковой шкале.

4. Мода: M₀(x) – это значение случайной величины, соответствующей максимальной вероятности p_i, если X – дискретная величина. Используется для оценки среднего величин, измеренных в номинальной шкале.

Если Х – непрерывная случайная величина, то мода – точка локального максимума плотности распределения.

Если плотность одномодального распределения непрерывной случайной величины симметрична относительно некоторой прямой х = а, то МХ = М_е(х) = М₀(х) = а.

Характеристики вариации случайной величины

Характеристики вариации дают представления о степени отклонения случайной величины от центра группирования. Одной из характеристик вариации является среднее модуля отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для дискретной случайной величины

,

для непрерывных

.

Данную характеристику используют редко, так как выражение задается разными функциями на разных участках. Этого недостатка лишены дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение 1. Дисперсией случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

. (1)

Если Х – непрерывная, то . (2)

Если Х – дискретная, то . (3)

Формулы (2) и (3) следуют из определения дисперсии и теорем 1 и 2 лекции 13. Часто пользуются другой формулой

. (4)

Доказательство.

Определение 2. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .

Пример1. Пусть Х – погрешность регистрации веса при взвешивании на весах с ценой деления 1 кг. Y – погрешность с ценой деления 2 кг. Найти DX, DY, σ_x, σ_y.

Будем считать, что погрешности Х и Y равномерно распределены соответственно на интервалах (–0,5; 0,5) и (–1; 1), .

Тогда

Пользуясь выведенной формулой, получим – ; ; ; .

По условию задачи один из весов вдвое точнее других, а дисперсии отличаются в четыре раза, в то время как среднеквадратические отклонения отличаются в два раза. Таким образом, среднеквадратическое отклонение может служить мерой точности приборов. Заметим, что единица измерения дисперсии – кг², а единица измерения среднеквадратического отклонения – кг, т.е. среднеквадратическое отклонение измеряется в тех же величинах, что и исходная величина.