Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной C равна 0, DC = 0, С = const.

Доказательство. DC = M(С – MC)² = М(С – С) = 0.

2. D(CX) = С²DX.

Доказательство. D(CX) = M(CX)² – M²(CX) = C²MX² – C²(MX)² = C²(MX² – M²X) = С²DX.

2. Если X и Y – независимые случайные величины, то

Доказательство.

4. Если Х₁, Х₂, … не зависимы, то .

Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.

5. .

Доказательство. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1)²D(Y) = DX + D(Y).

6.

Доказательство. D(C+X) = M(X+C–M(X+C))² = M(X+C–MX–MC)² = M(X+C–MX–C)² = M(X–MX)² = DX.

Пусть – независимые случайные величины, причем , .

Составим новую случайную величину , найдем математическое ожидание и дисперсию Y.

; .

То есть при n математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.

Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в основе закона больших чисел.

Свойства среднеквадратического отклонения

1. .

2. .

3. Если X, Y – независимые случайные величины, то .

4.

Определение 3. Случайная величина X называется нормированной (стандартизованной), если MX = 0, DX = 1.

Определение 4. Преобразование случайной величины вида называется нормированием случайной величины.

Убедимся в том, что случайная величина вида является нормированной

.

.

Следует заметить, что f(X) – безразмерная величина, не зависит от масштаба измерения исходной случайной величины.

Еще одной безразмерной характеристикой степени разброса случайной величины, не зависящей от масштаба измерения, является коэффициент вариации V_x

.

Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений

Пусть _n – число успехов в n испытаниях Бернулли. Представим _n в виде суммы

, где Х_i – число успехов в i-м испытании. Очевидно, что Х_i принимает значения 0 или 1. Ранее было показано, что MX_i = p. Найдем DX_i, воспользовавшись формулой

.

Далее в таблицах приведены распределения Х_i и Х_i²

Xi	0	1
pi	1-p	p

Xi^2	0	1
pi	1-p	p

Легко видеть, что MX_i² = 0+1p = p, тогда DX_i = p – p² = p(1-p) = pq.

Следовательно,

D_n = D . (1)

Нормальное распределение

Пусть X имеет нормальное распределение. Раннее, в лекции 11 (пример 2) было показано, что если

, то Y ~ N(0,1).

Отсюда , и тогда , поэтому найдем сначала DY.

Следовательно

DX = D(Y+a) = ²DY = ², _x = . (2)

Экспоненциальное распределение

Плотность распределения имеет вид .

Ранее мы показали, что . Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой .

,

тогда

(3)

Распределение Пуассона

Как известно

Ранее мы показали, что , воспользуемся формулой .

Следовательно,

(4)

Равномерное распределение

Известно, что .

Ранее мы показали, что , воспользуемся формулой .

,

тогда

. (5)

Моменты случайной величины. Характеристики формы распределения

Определение 1. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число, равное математическому ожиданию случайной величины Х^к : , k = 1, 2, …

Из этого определения следует, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом 1-го порядка, так как ₁ = М(Х).

Определение 2. Центральным моментом k-го порядка называется число, равное математическому ожиданию k-й степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания: .

При k = 1, , ;

при k = 2, .

Теорема 1. Если многоугольник распределения дискретной случайной величины или плотность распределения непрерывной случайной величины симметричны относительно прямой х = MX, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, т.е. _2к+1 = 0. Докажем это утверждение для непрерывной случайной величины.

Доказательство.

Последний интеграл в цепочке равенств равен 0, так как из условия задачи следует, что p(MX+t) – четная функция относительно t (p(MX+t) = p(MX-t)), а t^2k+1 – нечетная функция.

Так как плотности нормального и равномерного законов распределений симметричны относительно х = МХ, то все центральные моменты нечетного порядка равны 0.

Теорема 2. Если XN(a,), то .

Чем больше моментов случайной величины известно, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем. В теории вероятностей и математической статистике наиболее часто используются две числовые характеристики, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков. Это коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины.

Определение 3. Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число  = .

Коэффициент асимметрии является центральным и начальным моментом нормированной случайной величины Y, где . Справедливость этого утверждения следует из следующих соотношений:

.

Асимметрия случайной величины Х равна асимметрии случайной величины Y = αХ + β

c точностью до знака α, . Это следует из того, что нормирование случайных величин Х+  и Х приводит к одной и той же случайной величине Y с точностью до знака

Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» графика расположена справа от центра группирования, то β(х) > 0; если же «длинная часть» графика расположена слева, то β(х) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» кривой плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью используется понятие эксцесса.

Определение 4. Эксцессом случайной величины Х называется величина

 = .

Эксцесс случайной величины Х равен разности начального и центрального моментов 4-го порядка нормированной случайной величины и числа 3, т.е. . Покажем это:

Эксцесс случайной величины Х равен эксцессу случайной величины

Y = αХ + β.

Найдем эксцесс нормальной случайной величины Х.

Если ХN(a,), то  (0,1).

Тогда

Таким образом, эксцесс нормально распределенной случайной величины равен 0. Если плотность распределения одномодальна и более «островершинна», чем плотность нормального распределения с той же дисперсией, то (Х) > 0, если при тех же условиях менее «островершинна», то (Х) < 0.