20 Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности.

Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами

Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.

На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности,. Предположим, что источники первой группы  сосредоточены в конечном объеме V₁ а источники второй группы  -в конечном объеме V₂. Области Vi и V₂ пространственно разделены (не пересекаются

друг с другом).

Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области V, включающей в себя V₁ и V₂ (рис. 5.31), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (5.45) на все прост­ранство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общностисти рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов Ё₁Н₁,  Ё₂ и Н₂ убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем 1/r . Тогда при r→∞ левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов   отличен от нуля только в объеме V_b а вектор -только в объеме V₂, получаем

В полученном выражении Ё₁, - вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объема V₂ токами  распределенными в объеме V₁ a E₂- напряженность электрического поля, создаваемого в точках объема V₁ токами, протекающими в объеме V₂.

Соотношение (5.46) является одной из формулировок теоремы взаимности.

Следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим,   что  объемы   V₁   и   V₂   и   распределение  токов в них совершенно одинаковы. Из равенства (5.44) следует, что в этом случае векторы Ё₁ и Ё₂ также будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым, распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или нет, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1. На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры ε и μ (хотя бы один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения (5.44) получаем

21. Переход от сферической волны к плоской. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (напряженность электрического поля плоской волны, действительная и мнимая части, параметра , их физический смысл).

Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы Е и Н требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с рас­стоянием до источника (r₀). Введем дёкартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена .вдоль радиуса-вектора, соеди­няющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало координат (рис.6.1). В пределах области V можно пренебречь из­менением амплитуд векторов Ё_т и Н_т -и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin θ/r= = const, a exp(-ikr)=exp[-ik(r_o+z)]. Вводя обозначение (2λr₀) =E₀ перепишем формулы (5.20) в виде

В  (6.1)   учтено, что векторы Ё_т и Н_т перпендикулярны друг другу и направ­лению распростране­ния волны (оси Z). Ориентация векторов Ё_т и Н_т относитель­но осей X и У зависит от ориентации вибра­тора, создающего по­ле. В общем случае эти  векторы  могут иметь  как х-ю,  так и  у-ю составляющие, связанные соотношениями

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяют­ся уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, пер­пендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким обра­зом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.

Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях, когда источником поля являются элементарный магнитный вибра­тор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом в общем случае между составляющими вектора Ё_о по осям X и У может иметь место фазовый сдвиг.

Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

 Исследуем основные свойства плоской волны, распростра­няющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источни­ки, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы Ё_т и Н_т удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34) соответственно. Предпо­ложим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (2.33) и (2.34) принимают вид

Рассматривая таким же образом фазу напряженности элек­трического поля волны 2), придем к равенству ω∆t=-β∆z. В этом случае положительным ∆t соответствуют отрицательные значения ∆z, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис. 6.1). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматри­ваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z. По­этому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбо­ром вида множителя exp(-i kz) следует положить

 В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).

При изменении удельной проводимости от нуля до беско­нечности угол ψ_с увеличивается от нуля  до π/4, а модуль  Z_c убывает от  до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопро­тивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Н определяется как током про­водимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим снача­ла случай, когда вектор. Ё_m имеет лишь одну составляющую, например, Ё_хт. Тогда вектор Н_т также будет иметь одну сос­тавляющую, перпендикулярную Е_т (в рассматриваемом примере Н_ут). Считая вектор Ё_о вещественным (Ё₀=х₀Е₀) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ё_т и Н_т) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ё_о имеет одну составляющую (например, Ё_о =х_оE_о), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значе­ний векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой се­мейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векто­ров Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и

 

амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При

σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н опаздывает по фазе относительно вектора Е на угол  В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z₀) в среде с  σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент

времени t=t₀ для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).

Фазовая скорость v_ф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t.  В результате придем к равенству  из которого следует, что при σ≠0

В среде без потерь  т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами ε и μ. Так как  то v_ф в среде с потерями меньше у_ф в среде без потерь с теми же ε и μ.

Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением пос­ледней она возрастает. Предельное значение v_ф при ω→∞ равно

 Кроме того, величина v_ф зависит от проводимости сре­ды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением σ; при σ = О длина волны

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плос­кую волну, которая складывается с первичной, происходит непре­рывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:

Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии за­висит от частоты. В среде без потерь  одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны Z_c при σ≠ 0 также

зависит от частоты. Модуль Z_c возрастает с увеличением f. Его

предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно   Аргумент характеристического сопротивления ψ_с изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, рас­пространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (v_ф, v₃, a, Z_c и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.

В общем случае вектор Ё_т имеет две составляющие Ё_хт и Ё_ут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Н_т также будет иметь две составляющие Н_хт и Н_ут. Если сос­тавляющие вектора E по осям X и Y (Е_х и E_у) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ё_т имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ё_хт и Ё_ут фазового сдвига, не равного n_π, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при  f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.

Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники.

 

22. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (волновое сопротивление, форма незатухающей и затухающей плоской волны, комплексный вектор Пойнтинга). Плоские волны в проводниках. Глубина проникновения.

Волны в диэлектриках

 

В диэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно поло­жить  Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем

Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,v_ф,v_э,Z_c), распространяющейся в реальном диэлектрике, ма­ло отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ. Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свой­ства проявляются незначительно.