31 Основы аналитической механики. Классификация связей. Обобщенные координаты. Число степеней свободы. Возможные перемещения

Аналитическая мех устанавливает общие единые методы изучения движения и равновесия которые можно применять к исследованию всех материальных систем.

Связь называется голономной, если в уравнение связи входят только координаты точек механической системы или иные параметры, определяющие ее положение в пространстве. 

 Выше были рассмотрены примеры голономных связей.  Если уравнения связи, кроме координат и иных параметров, определяющих положение системы, содержат их дифференциалы или производные по времени и эти дифференциальные уравнения не могут быть проинтегрированы, то связь называется неголономной.

Примером неголономной связи служит горизонтальная плоскость для диска радиуса  , катящегося по ней без скольжения и поворачивающегося при этом вокруг вертикального направления (рис. 19.3). В данном случае проекции скорости центра диска на оси координат определяются равенствами  ,  ,    .

Последнее уравнение может быть проинтегрировано и дает  . Первые два преобразуются к виду    ,      .  Эти дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы только в случае, когда   . При этом связь становится голономной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только голономных связей.

 

Связь называют удерживающей, если она выражается математически равенством, и неудерживающей, если она выражается неравенством.

С вязь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит. Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь − нестационарная. 

 

 

Примером нестационарной связи, наложенной на материальную точку, является нить (рис. 19.4), длина которой изменяется согласно некоторому закону    .  Это голономная, неудерживающая, нестационарная связь.

Обобщённые координаты, независимые между собой параметры q_i (r = 1, 2,..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s уравнениями вида q_i = q_i (t), где t — время. О. к. пользуются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число уравнений, описывающих движение системы, по сравнению, например, с уравнениями в декартовых координатах (см. Лагранжа уравнения в механике). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физические поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, называются потенциалами, волновыми функциями и т.п.

Число независимых между собою возможных перемещений системы называетсячислом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю.    или в проекциях:  .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики.

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.