36 Принцип даламбера-лагранжа. Общее ур-е динамики

На голономную систему наложены удерживающие и идеальные связи. Применим к системе принцип Даламбера. Такая система сил, будет удовлетворять условию: , (1).

Зафиксируем время и сообщим точкам возможные перемещ. . Умножим (1) скалярно на и просуммируем по k: . в силу идеальности связей. ; , и окончательно: (общее ур-е динамики)

При любом движении механической системы с идеальными и удерживающими связями в каждый данный момент сумма возможных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.

В проекциях на декартовы оси координат:

37 Обобщенные силы инерции. Ур-е лагранжа 2 рода. Случай пот сил. Функция лагранжа.

, ( )

3N - число координат у N точек системы в пространстве.

s - количество связей, нахоженных на систему.

n=3N-s - число обобщ. координат определяющих положение системы (если связи голономные и удерживающие, то n - количество степеней свободы системы).

1) определить число степеней свободы механической системы и выбрать удобные обобщ. координаты;

2) вычислить Т системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщ. координаты и обобщ. скорости;

3) изобразить действующие на систему активные силы и силы трения, составить выражения для работы этих сил на возможном перемещ. и из этого выражения определить обобщ. силы соотв. выбранным обобщ. координатам;

4) вычислить производные, входящие в уравнения Лагранжа;

5) подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа;

6) найти решения получившихся ДУ, соотв. заданным начальным условиям.

Ф-ция, равная разности кин. и пот. энергий механической системы, наз. ф-цией Лагранжа, или кинетическим потенциалом: ( ) =>

( ).

38 Основы теории малых колебаний около положения устойчивого равновесия. Теорема лагранжа-дирихле

- Механическая система может совершать малые колебания только около положения устойчивого равновесия.

- Положение системы называется положением равновесия, если в начальный момент времени система была приведена в это положение при нулевых скоростях и всё время остаётся в этом положении.

- Положение равновесия системы бывает: устойчивым, неустойчивым, безразличным.

- Под устойчивостью мех. сист. подразумевается такое ее свойство, когда все величины, определяющие ее состояние, при малых возмущениях остаются вблизи тех их значений, которые характеризуют невозмущенное состояние системы.

Л-Д: Если в некотором положении консервативной механической системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.

39 Кин и пот энергия системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от устойчивого положения.

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Кинетическая энергия системы: .

Радиус-вектор каждой точки системы зависит только от обобщенной координаты q(t): . , следовательно, кинетическая энергия равна: (1).

Разложим функцию A(q) в окрестности положения равновесия ( ) в ряд Маклорена:

(2).

Все величины вычислены при . В силу малости колебаний в выражении (1) удержим величины не выше II порядка малости, но так как в нем уже содержится величина II порядка - , то в разложении (2) удержим только первый постоянный член, который обозначим «a». Приближенное выражение кинетической энергии: . «а» - коэфф. инерции. - квадрат обобщенной скорости.

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия :

(1).

1-ый член в разложении (1) равен нулю, так как потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю.

2-ой член в этом разложении равен обобщенной силе, которая в положении равновесия также равна нулю.

В силу малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше II порядка.

Тогда: .

Коэфф. при второй степени обобщенной координаты обозначим через «с» - обобщенный коэфф. жесткости. С учетом введенного обозначения: .