32 Возможная работа силы. Идеальные связи
Возможной
работой силы
называется работа силы на любом возможном
перемещении точки ее приложения:
.
Связи называются идеальными, если возможная работа реакций связей на любом возможном перемещении системы из любого ее положения равна нулю.
Для
одной точки и одной связи:
,
то есть реакция перпендикулярна любому
перемещению точки.
Идеальные связи характеризуют: абсолютно гладкие поверхности, нерастяжимые нити, цилиндрические и сферические шарниры, качение по твердой шероховатой поверхности без скольжения.
33 Обобщенные силы. Способ вычисления обобщенных сил
Запишем выражение для возможных работ всех сил, прилож. к точкам системы, через обобщ. коорд.:
,
тут
.
Обобщ.
силой, соотв. некоторой обобщ. координате,
называется скалярная величина, равная
коэффициенту при вариации этой обобщ.
координаты
в выражении возможной работы всех
активных сил, действ. на механическую
систему.
Аналитический
способ:
(1)
Система с числом степеней свободы >1:
Системе
можно сообщить такое возможное перемещ.,
при котором изменяется одна обобщ.
координата
,
соотв. искомой обобщ. силе
.
Возможное перемещ. этой обобщ. координаты
не равно нулю
,
а остальные
равны нулю.
Индекс i означает, что возможная работа сил, соотв. вариации только i-ой обобщ. координате.
Силы потенциальные:
Пот.
сила:
,
подставим в (1):
- частная производная силовой ф-ции
по i-ой
обобщ. координате. Тогда:
.
34 Принцип возможных перемещений
Для равновесия механической системы, на которую наложены голономные, стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, на любом возможном перемещении системы равнялась нулю.
Доказательство необходимости:
Система
мат. точек, удовл. принципу возможных
перемещений, наход. в равновесии.
Докажем, что выполн. равенство:
.
Если система в равновесии => любая
точка системы в равновесии. Сумма
активных сил
и реакций связи
,
прилож. к каждой точке системы, должна
быть равна нулю:
,
.
Из этого следует, что и работа этих сил
на любом возможном перемещении
также равна нулю:
,
.
Просуммирует
по k
и раскроем скобки:
.
в силу идеальности связей =>
.
*необходимость доказана*
35 Условие равновесия сис-мы в обобщенных координатах. Случай потенциальных сил
Н
а
систему из N
материальных точек наложены связи,
удовл. принципу возможных перемещений.
Запишем:
(1). Система имеет n
степеней свободы => ее положение опред.
n
обобщ. координатами
,
а радиус-вектор
,
k-ой
точки:
.
Возможное перемещ. каждой точки:
(2). Подставим (2) в (1):
,
отсюда получим:
(3). Вариации обобщ. координат
независимы друг от друга => (3) выполнится,
когда все обобщенные силы
равны нулю. Условие равновесия голономной
системы в обобщ. коорд.:
.