1.4.1. Распределение Максвелла
В состоянии
теплового равновесия как бы не изменялись
скорости молекул при столкновениях,
средняя квадратичная скорость молекул
в газе, при Т=cоnst,
остается постоянной и равной
.
Это объясняется тем, что в газе
устанавливается некоторое стационарное
статистическое распределение молекул
по значениям скоростей, называемое
распределением Максвелла. Распределение
Максвелла описывается некоторой функцией
f(),
называемой функцией распределения
молекул по скоростям.
,
где N – общее число молекул, dN() – число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от до + d.
Таким образом, функция Максвелла f() равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения . Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения .
Явный вид функции f() был получен теоретически Максвеллом:
.
График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 и и проходит через максимум при некоторой скорости В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно В. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f().
.
На рис. 13 показано смещение В с изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла
.
Условие нормировки следует из смысла данного интеграла – он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до . Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.
Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <>.
.
Рис.12 Рис. 13
По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.
.
1.4.2. Распределение Больцмана
Тепловое движение частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства.
где
плотность вероятности,
т.е. вероятность обнаружения частицы в
единичном объеме вблизи точки с
радиус-вектором
.
При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом можно записать
,
где n концентрация частиц, N полное число частиц газа.
Внешнее силовое поле изменяет пространственное распределение частиц, при этом концентрация частиц и функция распределения зависят от координат. Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиусом-вектором зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте:
где no концентрация частиц в том месте, где Ep=0.
В этом случае вероятность обнаружить частицу в объеме dV вблизи точки с радиусом-вектором определяется выражением
.
Этот закон называется распределением Больцмана.
Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли, и если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то изменение давления с высотой происходит по закону
.
Последнее соотношение называется барометрической формулой. В действительности земная атмосфера не находится в равновесном состоянии, ее температура меняется с высотой, и барометрическую формулу следует применять к участкам атмосферы, в пределах которых изменением температуры можно пренебречь. Из барометрической формулы следует, что давление различных газов изменяется с высотой по-разному. На рис. 14 показано изменение давления газа с высотой для различных газов при T = const, а на рис. 15 – изменение давления газа ( = const) при разных температурах.
