4.1. Устойчивость задачи на собственные значения

Для простоты будем считать, что все собственные значения матрицы А простые в задаче (4.1).

На практике элементы матрицы А, почти всегда, заданы с некоторой погрешностью А, тогда вместо (4.1) будем иметь

(А+А)(х+х)=(+)(х+х),

тогда отбросив, члены второго порядка малости получим

Ах+Ах+Ах=х+х+х

из последнего выражения вычтем (4.1), тогда имеем

Ах+Ах=х+х. (4.7)

Рассмотрим два варианта существования погрешностей:

1. х=0, 0;

2. х0, =0.

Последовательно рассмотрим оба варианта.

Вариант 1. х=0, 0.

Тогда из (4.7) имеем

Ах_i=_iх_i ,

(y_i, Ах_i)=_i(y_i, x_i),

.

Отношение называется i-ым коэффициентом перекоса матрицы А, где _i – угол между собственными векторами x_i и y_i .

Таким образом,

.

Следовательно, если погрешность А мала и мал i-ый коэффициент перекоса, то мала погрешность определяемого i-го собственного значения.

Отметим, что для симметричной матрицы все _i=1, поэтому задача нахождения собственных значений симметричной матрицы является устойчивой.

Вариант 2. х0, =0.

Тогда из (4.7) имеем

Ах_i +Ах_i =_iх_i ,

(Ах_i, y_j)+(Ах_i, y_j)= _i(х_i, y_j) , (4.8)

где (Ах_i, y_j)=( х_i, A^*y_j)=(х_i, _jy_j)=_j(х_i, y_j).

Подставляя последнее в (4.8) получим

_j(х_i, y_j)+(Ах_i, y_j)= _i(х_i, y_j),

(х_i, y_j)=(Ах_i, y_j)/(_i-_j), при ij. (4.9)

Пусть

х_i= , (4.10)

тогда

(х_i, y_j)=_ij(x_j, y_j)

после подстановки этого выражения в (4.9) получим

_ij= при ij,

. (4.11)

Из (4.10), (4.11) видно, что если мала погрешность определения элементов матрицы А и малы все коэффициенты перекоса, то мала погрешность определения i-го собственного вектора, соответствующего i-му собственному значению.

Следствие 4.1. Если матрица А=A^* и все собственные значения простые, то задача нахождения собственных векторов устойчива.

4.2. Метод вращения Якоби

Метод Якоби [4, 5, 9, 11] применяется для решения полной проблемы собственных значений симметричных матриц. Пусть А – исходная симметричная матрица, имеющая простые собственные значения. Тогда согласно теореме 1.1 имеем

Т^-1АТ=, (4.12)

где  - диагональная матрица. В качестве матрицы Т используем ортогональную матрицу вращения

i j

T_n(i,j)= , (i<j).

Так как T_n – ортогональная матрица (4.12) запишется в виде

АТ= , (4.13)

где - квазидиагональная матрица.

Дальше строится последовательность матриц А_n при начальной А₀=А:

А₁= А₀Т₁ ,

…………. , n=1, 2, 3,… (4.14)

А_n= А_n-1Т_n .

При n limA_n=.

Идея построения последовательности (4.14) такова:

допустим, что ненулевой, недиагональный элемент матрицы А_n-1 находится в позиции (i, j), тогда умножение её на Т_n справа и слева соответствует вращения матрицы А_n-1 в плоскости (i, j). Угол вращения  выбирается таким образом, чтобы сделать элемент (i, j) матрицы А_n нулевым.

Алгоритм метода вращения, который получается из последней строки последовательности (4.14), будет таким:

(4.15)

где c=cos, s=sin, n=1, 2, 3,…

Из последнего выражения формул (4.15) получим

tg2= , /4. (4.16)

Из исходных соотношений получим уравнение

tg=s/c=t. (4.17)

Далее из (4.16), (4.17) получим

t²+ t-1=0. (4.18)

Для сходимости и устойчивости метода необходимо выбрать наименьший по модулю корень уравнения (4.18). Зная t можно вычислить с, s:

s=tc.

Для якобиева вращения, , справедливо

t²(A_n)= t²(A_n-1)-2( )² ,

где

t²(A_n-1)= .

Сходимость метода Якоби можно оценить числом t²(A_n), если процесс сходится, то t²(A_n)0 при n.

Процесс итерации заканчивается, когда все недиагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию

 <, ij , 0<<1.

Наконец, о нахождении собственных векторов.

Пусть , где Т= , тогда столбцы матрицы Т будут собственными векторами матрицы А.

Заметим, так как метод Якоби носит итерационный характер, то элемент, который был сделан нулевым при следующем вращении, вообще говоря, может стать ненулевым.

Вопрос, в каком порядке занулять элементы матрицы А, т.е. вопрос о выборе индексов i и j для каждого шага, определяет различные варианты метода Якоби.