4.7.1. Обобщенный метод Якоби

Метод предназначен для решения задачи (4.40). Очевидно, что обобщенная задача на собственные значения (4.40) эквивалентна для любой невырожденной матрицы Т задачи: TАT^Ty=TВT^Ty ,

причем новая задача сохраняет свойства исходных матриц А и В такие как симметричность и положительная определенность. В качестве матрицы Т выбираются:

i j

T_ij(k)= , (i<j).

Видно, что элементы на месте (i, j) у матриц T_ij(k)А (k) и T_ij(k)В (k) определяются по формулам:

Обобщенный метод Якоби для задачи (4.40) состоит в последовательном применении конгруэнтных преобразований матриц А и В с помощью матриц T_ij(k) таких, что на каждом шаге , . В качестве стратегии выбора зануляемых элементов может быть реализован один из вариантов обычного метода Якоби (см. параграф 4.2).

Значения параметров ,  матриц T_ij(k) определяются из соотношений:

Обозначая через с=(1-) получим две системы линейных алгебраических уравнений:

и (4.41)

По правилу Крамера из этих уравнений получим:

, . (4.42)

Обозначая через:

, ,

и приравнивая правые части (4.42) получим:

. (4.43)

Положив, из (4.43) получим .

После подстановки этих выражений для  и  в одно из исходных уравнений (4.41), получим:

или

(4.44)

После упрощений (4.44) примет вид:

. (4.45)

Когда матрица В положительно определена, уравнение (4.45) имеет ненулевое решение. Чтобы  и  были достаточно малыми величинами, в качестве  нужно выбирать тот корень уравнения, который дальше отстоит от нуля.

После вычисления  элементы матрицы T_ij(k) определяются по формулам:

, .

На обобщенный метод Якоби распространяется квадратичная сходимость обычного метода Якоби, при условии, что итерационный процесс вообще сходится. Отметим, что теоретически сходимость обобщенного метода Якоби ещё не доказана [13].

4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной

Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные значения

Ах=Вх (4.46)

является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого матрицы

B=LL^T ,

где L – нижняя треугольная матрица.

Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:

Ах=LL^Tх ,

L^-1Ах=L^Tх . (4.47)

Делаем замену переменных:

у=L^Tх или х=L^-Ту .

Тогда (4.47) запишется в виде:

L^-1АL^-Ту=у ,

при =L^-1АL^-Т ,

y=у . (4.48)

Таким образом, исходная задача (4.46) при A=A^T и В=В^Т>0 заменяется эквивалентной стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей . Для полученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.

Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы переход к уравнению

В^-1Ах=х ,

но матрица В^-1А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей на собственные значения с симметричной матрицей.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Каждое задание состоит из 10 вариантов, и выполняются с применением конкретного численного метода, указанного вначале задания. При выполнении задания необходимо использовать один из языков программирования высокого уровня.

Цель лабораторных работ:

1. Усовершенствование навыков программирования;

2. Практическое усвоение численных методов линейной алгебры.

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 2

Задание № 2.1

Здесь даны 10 вариантов задания, в которых СЛАУ надо решить классическим методом Гаусса:

1. 2х₁+2х₂ - х₃ + х₄=4, 2) 2х₁+3х₂+11х₃+5х₄=2,

4х₁+3х₂ - х₃+2х₄=6, х₁ + х₂ + 5х₃+2х₄=1,

8х₁+5х₂-3х₃+4х₄=12, 2х₁ + х₂ + 3х₃+2х₄=-3,

3х₁+3х₂-2х₃+2х₄=6. х₁ + х₂ + 3х₃+4х₄=-3.

Ответ: х₁=х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=0,

х₃=х₄=-1. х₃=1, х₄=-1.

3) 2х₁ + 5х₂+4х₃+ х₄=20, 4) 3х₁+4х₂ + х₃+2х₄=-3,

х₁ + 3х₂+2х₃ + х₄=11, 3х₁+5х₂+3х₃+5х₄=-6,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40, 6х₁+8х₂ + х₃+5х₄=-8,

3х₁ + 8х₂+9х₃+2х₄=37. 3х₁+5х₂+3х₃+7х₄=-8.

Ответ: х₁=1, х₂=2, Ответ: х₁=2, х₂=-2,

х₃=2, х₄=0. х₃=1, х₄=-1.

5) 7х₁+9х₂+4х₃+2х₄=2, 6) 3х₁-2х₂-5х₃ + х₄=3,

2х₁-2х₂ + х₃ + х₄=6, 2х₁-3х₂ +х₃+5х₄=-3,

5х₁+6х₂+3х₃+2х₄=3, х₁+2х₂ - 4х₄=-3,

2х₁+3х₂ + х₃ + х₄=0. х₁ - х₂-4х₃+9х₄=22.

Ответ: х₁=-0.4, х₂=-1.2, Ответ: х₁=-1, х₂=3,

х₃=3.4, х₄=1. х₃=-2, х₄=2.

7) 4х₁-3х₂ + х₃+5х₄=7, 8) 2х₁-2х₂ + х₄=-3,

х₁-2х₂ - 2х₃ -3х₄=3, 2х₁+3х₂ +х₃-3х₄=-6,

3х₁ - х₂ + 2х₃ =-1, 3х₁+4х₂ -х₃ +2х₄=0,

2х₁+3х₂ +2х₃ -8х₄=-7. х₁+3х₂+х₃ - х₄=2.

Ответ: х₁=2, х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=1,

х₃=-3, х₄=1. х₃=4, х₄=3.

9) х₁ + х₂- 6х₃ - 4х₄=6, 10) 2х₁-3х₂+3х₃ +2х₄=3,

3х₁ - х₂ -6х₃ - 4х₄=2, 6х₁+9х₂ -2х₃ - х₄=-4,

2х₁+3х₂+9х₃+2х₄=6, 10х₁+3х₂-3х₃- 2х₄=3,

3х₁+2х₂+3х₃+8х₄=-7. 8х₁+6х₂+ х₃+3х₄=-7.

Ответ: х₁=0, х₂=2, Ответ: х₁=1/2, х₂=-2/3,

х₃=1/3, х₄=-3/2. х₃=2, х₄=-3.