- •Ширапов д.Ш.
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы ………………………………………...
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ……………………………….
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ………………………..
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения и собственные вектора………………………………
- •Введение
- •Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы
- •Погрешности приближенных вычислений
- •Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений
- •1.3. Основные теоремы
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Метод Гаусса
- •2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы
- •2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы
- •2.5. Метод Халецкого
- •2.6. Метод квадратных корней
- •2.7. Метод прогонки
- •Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Метод простой итерации
- •3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации
- •3.2. Метод Зейделя
- •3.3. Метод релаксации
- •3.4. Каноническая форма двухслойных итерационных методов
- •3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации
- •3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя
- •3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов
- •3.5. Вариационно-итерационные методы
- •3.5.1. Метод минимальных невязок
- •3.5.2. Метод скорейшего спуска
- •Глава 4. Методы решения задач на собственные значения
- •4.1. Устойчивость задачи на собственные значения
- •4.2. Метод вращения Якоби
- •4.2.1. Различные варианты метода Якоби
- •4.3. Степенной метод
- •4.4. Обратный степенной метод
- •4.5. Итерационный метод
- •4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу
- •4.7. Обобщенная задача на собственные значения
- •4.7.1. Обобщенный метод Якоби
- •4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной
- •Задание № 2.2
- •Задание № 2.3
- •Задание № 2.4
- •Задание № 2.5
- •Задание № 2.6
- •Задание № 2.7
- •Задания к главе 3 Задание № 3.1
- •Задание № 3.2
- •Задания к главе 4 Тестовые примеры
- •Задание для индивидуального выполнения
- •Литература
Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в развернутой форме записывается следующим образом
(1.1)
Из теории линейной алгебры следует, что система уравнений (1.1) имеет решение (совместна) при любых правых частях в том и только в том случае, если соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение х1=х2=…хn=0. Необходимым и достаточным условием этого является условие, когда матрица А
имеет определитель, отличный от нуля, т.е. detA0. Условие совместности системы (1.1) при любых правых частях detA0 обеспечивает и единственность решения. С использованием матрицы А систему (1.1) можно переписать в виде
или в матричной форме
Ax=b. (1.2)
Пусть требуется найти решение системы (1.2). Задача решения системы (1.2) поставлена, корректна, если
решение задачи существует;
решение единственно;
решение непрерывно зависит от входных данных.
Известно, что требования 1 и 2 будут выполнены, если detA0. Требование 3 нуждается в детализации. Входными данными в задаче (1.2) являются коэффициеты aij матрицы А и компоненты вектора .
Если входные данные А и заданы с некоторой погрешностью А, b, то вместо системы (1.2) решается задача
(А+А)(х+х)=b+b. (1.3)
Тогда возникает вопрос о том, как связана погрешность решения х с погрешностями входных данных А или b.
Пусть вначале А=0, а b0. Тогда из формулы (1.3) получим
Ах+Ах=b+b. (1.4)
После вычитания из (1.4) выражения (1.2) получим
Ах=b,
х=А-1b,
следовательно
║х║║А-1║║b║. (1.5)
Таким образом, связь между ║х║ и ║b║ установлена. Однако на практике более естественна связь между нормами относительных погрешностей, а не абсолютных.
Так как
║b║║А║║х║, (1.6)
то из (1.5) и (1.6) получим
║х║║b║║А║║А-1║║х║║b║
или
║х║/║x║║А║║А-1║║b║/║b║. (1.7)
Теперь пусть b=0, А0. Дополнительно предположим, что А таково, что
det(A+А)0. Тогда из формулы (1.3) получим
х+х=(A+А)-1b. (1.8)
После вычитания из (1.8) х= А-1b получим
х=[(A+А)-1-A-1]b. (1.9)
Введем обозначение
B=(A+А)
и используя тождество
B-1- A-1= A-1(A-B)B-1
находим, что
B-1- A-1= -A-1А(А+А)-1
или
(A+А)-1- A-1= -A-1А(А+А)-1. (1.10)
После подстановки (1.10) в (1.9) получим
х= -A-1А(А+А)-1b,
откуда
b= -х/[ A-1А(А+А)-1] . (1.11)
После подстановки (1.11) в (1.8) получим
х= -A-1А(х+х)
или
║х║║А-1║║А║║х+х║, (1.12)
║х║/║x+х ║║А║║А-1║║А║/║А║. (1.13)
Из (1.5) и (1.12) следует, что если ║b║0 или ║А║0, то ║х║0. Это и означает непрерывную зависимость решения задачи (1.2) от входных данных. Следовательно, условия detA0, det(A+А)0 обеспечивают корректную постановку задачи (1.2).
Входящее в оценки (1.7) и (1.13) число (А)=║А║║А-1║ называется числом обусловленности матрицы А.
Определение 1.3. Если число (А) относительно мало, то матрица А является хорошо обусловленной. Если число (А) относительно велико, то матрица А является плохо обусловленной.
Для плохо обусловленной СЛАУ недопустима, велика правая часть в неравенствах (1.7) и (1.13). Поэтому лишь очень малые погрешности входных данных задачи (1.2) гарантируют приемлемую относительную погрешность решения.
Определение 1.4. Число (А) для произвольной квадратной матрицы А удовлетворяет условию
(А) maxA/minA1, (1.14)
где A – собственное число матрицы А.
Определение 1.5. Число (А) для симметричной матрицы А удовлетворяет условию
(А)= maxA/minA=1.
Пример 1.1. Дана матрица
. (1.15)
Для оценки числа обусловленности этой матрицы воспользуемся формулой (1.14). Как известно собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
detA-E=0,
2+4+0,0003-0.
Далее получим 1=-0,0001, 2=-3,9999, откуда (А)2/1=399994.104. Отсюда следует, что матрица А плохо обусловленная.
Пример 1.2. Рассмотрим уравнение Ах=b, где матрица А задана выражением (1.15), . Тогда точное решение .
Допустим вектор b задан с погрешностью, т.е. имеем , тогда получим решение . Оценим относительную погрешность решения при b0. Из примера 1.1 известно (А) 4.104. Тогда несмотря на малость ║b║/║b║1,4143.10-4 относительная погрешность решения велика, т.е. ║х║/║x║0,9618(А)║b║/║b║5,6772.