Лабораторная работа № 6. Исследование линейной разветвлённой электрической цепи синусоидального тока.

Цель работы:

1. Исследовать явление резонанса токов.

2. Установить связи токов цепи с ёмкостью конденсатора при параллельном соединении индуктивной катушки и конденсатора.

3. Получить навыки построения векторных диаграмм и научиться их использовать для анализа электрических цепей.

Основные теоретические положения.

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и ёмкостные элементы, при котором её входная проводимость (входное сопротивление) вещественна (т. е. имеет только активную составляющую). Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

В электрических цепях различают два вида резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении L и C элементов) и резонанс токов (при параллельном соединении L и C элементов).

В настоящей лабораторной работе исследуется разветвлённая электрическая цепь, состоящая из параллельно соединённых катушки индуктивности и конденсатора, подключенная к источнику синусоидального напряжения. Схема цепи представлена на рисунке 6.1.

Так как реальная катушка индуктивности обладает кроме реактивного ещё и активным сопротивлением, её целесообразно представить в виде эквивалентной схемы замещения. В отличие от цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора в данном случае удобнее воспользоваться параллельной схемой замещения катушки индуктивности, которая представляет собой параллельное соединение идеальных активного и индуктивного элементов с проводимостями G и B_L соответственно (рис. 6.1). Пренебрегая (в отличие от катушки) несущественными потерями активной энергии в конденсаторе, будем считать его идеальным ёмкостным элементом с ёмкостной проводимостью В_C (рис. 6.1).

В соответствии с законом Ома полная проводимость цепи, приведённой на рисунке 6.1, запишется как

,

где: U и I – действующие значения напряжения и тока цепи.

Общая проводимость цепи, состоящей из параллельного соединения активного, индуктивного и ёмкостного элементов, будет являться суммой проводимостей этих элементов. Однако, поскольку сопротивления (а, следовательно, и проводимости) указанных элементов определяются различными факторами (соответственно электрическим сопротивлением металла и сопротивлениями движению тока, обусловленными магнитным и электрическим полями), вводится понятие комплексной проводимости (аналогично комплексному сопротивлению ), представляющей общую проводимость активных и реактивных элементов в виде комплексного числа. При этом активная проводимость G рассматривается в качестве вещественной части данной комплексной проводимости, а реактивная проводимость B, определяемая разницей ёмкостной B_C и индуктивной B_L проводимостей (B=B_C–B_L), – в качестве мнимой части:

.

Таким образом, активная и реактивная проводимости с двух качественно разных сторон характеризуют общую проводимость цепи. Они откладываются по различным осям на комплексной плоскости, благодаря чему складываются не как скаляры, а как вектора. Величины B_C и B_L откладываются по мнимой оси в противоположных направлениях. Вектор напряжения при построении векторной диаграммы на комплексной плоскости для параллельной цепи, как правило, откладывается по действительной оси, а вектора токов на ёмкостном и индуктивном элементах при их углах к напряжению φ_C= +90° и φ_L= –90° соответственно – в положительном и отрицательном направлениях мнимой оси соответственно. По этой причине и реактивные проводимости B_C и B_L, обуславливающие указанные токи, откладываются в положительном и отрицательном направлениях мнимой оси соответственно.

В связи с вышесказанным соотношения активной, реактивной и полной проводимостей характеризуются треугольником проводимостей (рис. 6.2), откуда вытекают следующие зависимости:

Вернувшись к представлению индуктивной катушки в виде схемы замещения с параллельным соединением активного и индуктивного элементов, определим параметры этих элементов через параметры катушки R и X_L. Полное сопротивление катушки при последовательном соединении R и L элементов: . Тогда полная проводимость катушки:

.

В полученном выражении имеется сумма двух составляющих проводимости: и . Следовательно, эти составляющие можно рассматривать как проводимости двух параллельно включенных ветвей с общей проводимостью .

Проводимость ветви с ёмкостным элементом: .

Полный ток цепи, приведённой на рисунке 6.1, определяется (аналогично полной проводимости) векторной суммой токов параллельно соединённых ветвей (по первому закону Кирхгофа):

.

Величины , , и связаны между собой, как стороны треугольника токов (рис. 6.3), подобного треугольнику проводимостей. Треугольник токов получается из треугольника проводимостей, домножением сторон последнего на напряжение U. Вектор тока на резистивном элементе (активная составляющая ) совпадает по направлению с вектором напряжения , вектор тока на ёмкостном элементе (ёмкостная составляющая ) опережает вектор напряжения на 90°, а вектор тока на индуктивном элементе (индуктивная составляющая ) отстаёт от вектора напряжения на 90°. Из векторной диаграммы токов и напряжения (рис. 6.3) следует:

Домножив стороны треугольника проводимостей на квадрат напряжения или домножив стороны треугольника токов на напряжение, можно получить треугольник мощностей (рис. 6.4).

Для полной S, активной P и реактивной Q мощностей справедливы следующие соотношения:

В электрической цепи (рис. 6.1) возможны три различных соотношения параметров B_C и B_L:

1. B_C>B_L, тогда I_C>I_L, вектор опережает вектор на угол φ, цепь носит ёмкостный характер (рис. 6.5–а);

2. B_C<B_L, тогда I_C<I_L, вектор отстаёт от вектора на угол φ, цепь носит индуктивный характер (рис. 6.5–б);

3. B_C=B_L, тогда I_C=I_L, вектор совпадает по направлению с вектором  (φ=0), цепь работает в режиме резонанса и носит активный характер (рис. 6.5–в).

Режим работы параллельной цепи синусоидального тока, при котором напряжение и общий ток совпадают по фазе, что соответствует совпадению по направлению векторов и на векторной диаграмме, называется резонансом токов.

Так как в режиме резонанса реактивная проводимость всей цепи равно нулю (B=B_C–B_L=0), то и реактивные составляющие всех величин на входе цепи (тока, мощности) тоже равны нулю.

Условием резонанса является равенство ёмкостной и индуктивной проводимостей параллельных ветвей:

или ,

откуда следует, что резонанс наступает при частоте

.

Таким образом, резонанс в цепи может быть получен за счёт изменения одного из следующих параметров: индуктивности катушки L, ёмкости конденсатора C или частоты питающего напряжения f (ω=2∙π·f). Кроме того, величина в схеме на рисунке 6.1 зависит от активного сопротивления катушки R, следовательно, последнее тоже влияет на достижение режима резонанса. В данной работе резонанс токов достигается с помощью изменения ёмкости конденсатора.

Так как режим резонанса наступает при B=0, полная проводимость цепи с параллельным соединением L и C элементов в этот момент достигает наименьшего значения Y_рез.=G, что приводит к существенному уменьшению тока, который достигает минимального значения I_рез:

Токи I_C и I_L имеют одинаковые действующие значения и противоположны по фазе, т. е. на векторной диаграмме векторы и имеют равную длину и направлены в противоположные стороны.

В режиме резонанса коэффициент мощности цепи , который показывает какую часть от полной мощности составляет активная, достигает своего максимального значения. Это происходит по причине того, что реактивные мощности на ёмкостном и индуктивном элементах равны (Q_C=Q_L), из чего следует равенство нулю реактивной мощности цепи (Q=Q_C–Q_L=0) и равенство полной и активной мощностей S_рез.=P.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией (реактивной) между магнитным полем индуктивной катушки и электрическим полем конденсатора, причём сумма энергий полей остается постоянной (источник питания цепи в этом обмене реактивной энергией не участвует).