Элементы векторной алгебры и линейной аналитической геометрии в пространстве
1. Скалярные и векторные величины. Геометрическая интерпретация вектора как направленного отрезка. Основные определения (длина вектора, нуль-вектор, единичный вектор, свободный вектор):
равенство векторов;
сложение векторов и его свойства (переместительное и сочетательное свойства);
вычитание векторов;
умножение вектора на скаляр и его свойства (сочетательное и распределительное свойства);
нахождение орта произвольного вектора.
2. Проекция вектора на ось и ее свойства. Выражение вектора, его длины, направляющих косинусов и проекции на любую ось через проекции вектора на три взаимно перпендикулярные оси.
Радиус-вектор и декартовы координаты точки в пространстве. Основные задачи на координаты точек в пространстве: I) определение расстояния между двумя точками; 2) деление отрезка прямой в данном отношении и, в частности, пополам.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Выражение длины вектора через скалярное произведение. Вычисление угла между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
Задание плоскости в пространстве, ее направляющий вектор (вектор нормали). Уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Векторное произведение двух векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Условие коллинеарности двух векторов.
Задание прямой в пространстве, ее направляющий вектор. Уравнение пространственной прямой в векторно-параметрической форме. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, а также прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Функция одной переменной, ее предел и непрерывность
Независимая переменная (аргумент) и функция. Область определения функции:
1) промежуток (открытый, полуоткрытый, замкнутый);
2) множество дискретно расположенных точек числовой оси (на примере функции целочисленного аргумента или последовательности).
Функциональная зависимость и способы ее задания:
1) аналитический (явное и неявное задание функции и функции, заданные в параметрической форме);
2) графический;
3) табличный.
Переход от одного способа выражения функциональной зависимости к другому, основные соображения:
1) табулирование аналитически заданной функции;
2) построение графика функции по точкам;
3) снятие значений функции с графика;
4) нахождение приближенного аналитического выражения, таблично или графически заданной функции.
Многозначные функции и их однозначные ветви. Взаимно обратные функции. Сложная функция (композиция функций, функция от функции).
Основные элементарные функции и их графики (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции). Классификация функций (элементарные и неэлементарные функции). Число
.
Натуральные
логарифмы и их связь с десятичными
логарифмами.Понятие
–
окрестности точки
.
–
окрестность бесконечно удаленной
точки. Определение локально ограниченной
функции.Функция бесконечно малая в точке и ее свойства: 1) сумма бесконечно малых; 2) произведение бесконечно малой на локально ограниченную и на бесконечно малую.
Функция бесконечно большая в точке и ее связь с бесконечно малой.
Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечно удаленной точке. Основные свойства предела функции в точке:
1) единственность предела;
2) локальная ограниченность функции, имеющей предел;
3) предельный переход в неравенстве;
4) теорема о трех функциях, связанных неравенством (теорема о сжатой переменной).
Основные теоремы о пределах функции в точке (предел суммы, произведения, частного). Понятие неопределенности. Первый замечательный предел
Непрерывность функции в промежутке. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке (теорема Больцано-Коши и теорема Вейерштрасса).
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
Основные виды бесконечно малых:
,
