- •Г. В. Красоленко, н. В. Сванидзе, г. В. Якунина аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
- •Введение
- •Элементы векторной алгебры и линейной аналитической геометрии в пространстве
- •Функция одной переменной, ее предел и непрерывность
- •Примерный вариант контрольной работы № I по аналитической геометрии на плоскости
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Примерный вариант контрольной работы № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Решение задачи № 5 а
- •Решение задачи № 5 б
- •Решение задачи № 5 в
- •Решение задачи № 5 г
- •Контрольная работа № 1 по аналитической геометрии на плоскости
- •Контрольная работа № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
- •190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Примерный вариант контрольной работы № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
Каждый вариант контрольной работы № 2 содержит четыре задачи на тему «Векторная алгебра» и ее приложение к аналитической геометрии в пространстве и четыре примера на тему «Вычисление пределов функций».
1. Даны три точки , и . Найти:
1) скалярное произведение ; 2) векторное произведение ; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости . Найти угол между этой плоскостью и плоскостью .
3. Доказать параллельность прямых
и
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .
5. Найти пределы:
а) ; б) ;
в) ; г)
Прежде чем приступать к решению задач, Вам необходимо ознакомиться с «Рабочей программой» и изучить соответствующий т еоретический материал по учебникам, указанным в разделе «Рекомендуемая литература».
Для решения первых четырех задач потребуется знание основных понятий векторной алгебры и ее приложений к аналитической геометрии в пространстве [1–3, 6].
Приведем основные понятия и формулы, используемые
Рис. 6 при решении задач 1–4.
Мы предполагаем, что в пространстве введена правая декартова система координат и декартов базис , изображённые на рис. 6. Направление единичных векторов совпадает с направлением декартовых осей координат , , , соответственно. Обозначим проекции вектора на координатные оси через , и , тогда вектор однозначно представляется в виде
. (1)
Декартов базис позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторами и тройками чисел . Представление вектора в виде и в виде считаем эквивалентными. Числа , и называются координатами вектора в базисе .
Длина вектора определяется по формуле
(2)
Если даны координаты начала и конца вектора , то координаты вектора вычисляются по формулам:
, и (3)
Если даны координаты векторов , и число , то
(4)
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов и будем обозначать символом , тогда по определению
(5)
Имеет место следующее утверждение.
Если и , то
(6)
Из формул (5) и (6) следует, что
(7)
Замечание. Если векторы и перпендикулярны , то угол , и скалярное произведение этих векторов равно нулю:
(8)
Векторное произведение. Напомним, что в трехмерном векторном пространстве выбран правый ортонормированный базис , изображённый на рис. 6 и 7. Выбор базиса, который по определению считается правым, равносилен ориентации пространства. Будем говорить, что векторы образуют правую тройку.
Определение векторного произведения двух векторов включает в себя выбор ориентации пространства.
Векторным произведением двух упорядоченных векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
вектор перпендикулярен векторам и ;
направление вектора выбирается так, чтобы тройка векторов образовывала правую тройку;
длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведённых к общему началу. Пусть - угол между векторами
и , тогда
(9)
Векторное произведение будем обозначать символом .
Рис. 7
Для определения направление вектора удобно применять также правило «правой руки»: если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. вектору ), а указательный – по второму сомножителю (т. е. вектору ). Это правило чаще всего используется для определения направления вектора .
Имеют место следующие утверждения.
Если известны координаты векторов и , то координаты векторного произведения этих векторов определяются по формуле
(10)
Если векторы и коллинеарны (введём для них обозначение ), то . Иногда коллинеарные векторы называют параллельными. В координатной форме условие коллинеарности выглядит так:
(11)
т. е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид
(12)
Вектор называется вектором нормали к плоскости.
Если в уравнении (12) раскрыть скобки, перегруппировать члены и ввести обозначение , то получим уравнение
(13)
которое называется общим уравнением плоскости.
Обращаем Ваше внимание, что координаты вектора нормали являются коэффициентами при переменных , и в общем уравнении плоскости (13).
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеют вид
(14)
Вектор называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получаются из уравнений (14) введением параметра , следующим образом:
Приравнивая в отдельности каждую дробь параметру и разрешая полученные уравнения относительно переменных , и , получаем параметрические уравнения прямой
(15)
Обращаем Ваше внимание, что координаты направляющего вектора прямой являются коэффициентами при параметре в уравнениях (15).
Также из уравнений (14) видно, что прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т. е. в виде
(16)