- •Г. В. Красоленко, н. В. Сванидзе, г. В. Якунина аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
- •Введение
- •Элементы векторной алгебры и линейной аналитической геометрии в пространстве
- •Функция одной переменной, ее предел и непрерывность
- •Примерный вариант контрольной работы № I по аналитической геометрии на плоскости
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Примерный вариант контрольной работы № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Решение задачи № 5 а
- •Решение задачи № 5 б
- •Решение задачи № 5 в
- •Решение задачи № 5 г
- •Контрольная работа № 1 по аналитической геометрии на плоскости
- •Контрольная работа № 2 по векторной алгебре, аналитической геометрии в пространстве и пределам
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
- •190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Решение задачи № 5 в
Обозначим для краткости и удобства предел пункта в) через
Вычислим пределы трёх функций
, и ,
из которых составлено выражение, стоящее под знаком предела.
Отсюда видим, что функции и являются бесконечно малыми функциями в точке , и что перед нами задача о раскрытии неопределённости вида .
Представим выражение, стоящее под знаком предела в виде произведения двух дробей
и проведём рассуждения, типичные при вычислении пределов такого сорта.
Предел первой дроби существует и конечен. Предположим, что предел второй дроби тоже существует и конечен. Тогда можно воспользоваться теоремой о пределе произведения двух функций, утверждающей, что предел произведения двух функций, имеющих конечный предел, существует и равен произведению пределов сомножителей.
Чтобы раскрыть неопределённость вида в последнем пределе, заменим бесконечно малые функции и в точке на эквивалентные. Преобразуем эти функции таким образом, чтобы можно было воспользоваться соотношениями эквивалентности:
и при .
В результате получим, что
, где роль бесконечно малой функции играет при ;
, где роль бесконечно малой функции играет при .
Эта замена позволяет нам раскрыть неопределённость и вычислить предел
Ответ: .
Решение задачи № 5 г
Обозначим для краткости и удобства предел пункта г) через
Пределы функций, стоящих в числителе и знаменателе, равны нулю при , и мы вновь имеем задачу о раскрытии неопределённости вида .
Преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться соотношениями эквивалентности:
при .
В результате получаем
при ,
где роль бесконечно малой функции играет при .
Преобразуем выражение с помощью тригонометрической формулы
так, чтобы можно было воспользоваться соотношением эквивалентности: при .
В результате получаем
при ,
где роль бесконечно малой функции играет при .
После замены бесконечно малых функций, стоящих в числителе и знаменателе, на эквивалентные в исходном пределе № 5 г мы раскрываем неопределённость, и после выполнения простых преобразований получаем
Ответ: .
Контрольная работа № 1 по аналитической геометрии на плоскости
Вариант I
1. Дан треугольник с координатами вершин , и . Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины .
2. Составить каноническое уравнение эллипса и построить кривую, если известны суммы длин его полуосей и эксцентриситет .
3. Найти уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса , и перпендикулярной прямой, соединяющей центр окружности и фокус параболы .
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 2
1. Даны две смежные вершины , параллелограмма и точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон параллелограмма.
2. Гипербола проходит через точку и ее эксцентриситет равен . Найти уравнения гиперболы и ее асимптот. Построить гиперболу.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса перпендикулярно той асимптоте гиперболы , которая проходит через и квадранты.
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 3
1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
2. Гипербола проходит через точку и ее асимптоты имеют уравнения . Найти ее уравнение и построить кривую.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса и центр окружности .
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 4
1. Треугольник задан сторонами , , . Найти уравнение средней линии треугольника , параллельной стороне .
2. Составить уравнение окружности, проходящей через фокус параболы , если ее центр совпадает с правым фокусом эллипса .
3. Найти угол между асимптотой гиперболы , проходящей через и квадранты, и прямой, соединяющей центр окружности и левый фокус эллипса .
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 5
1. Точки , и образуют вершины треугольника. Найти угол между стороной и медианой .
2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известны уравнения ее асимптот и расстояние между фокусами равно .
3. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы параллельно прямой, соединяющей центр окружности с верхней вершиной эллипса .
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 6
Заданы уравнения диагоналей квадрата , и координаты одной из его вершин . Найти уравнения всех сторон квадрата.
Парабола проходит через точки пересечения прямой с окружностью , и симметрична относительно оси . Найти каноническое уравнение этой параболы.
Найти точку, симметричную с центром окружности относительно прямой, соединяющей левый фокус эллипса с фокусом параболы .
Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 7
Дан треугольник с координатами вершин , , . Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины .
Составить каноническое уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса , а фокусы совпадают с вершинами эллипса.
Найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности параллельно асимптоте гиперболы , проходящей через и квадранты.
Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 8
Найти координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон , и уравнение одной из его диагоналей .
Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями , а один из фокусов находится в точке .
Пусть – правый фокус, а –верхняя вершина эллипса . Найти точку на отрезке , которая делит его в отношении , т. е. .
Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 9
1. Даны уравнения сторон треугольника , и . Найти координаты вершин треугольника и тангенсы его внутренних углов.
2. Найти уравнение окружности, имеющей центр в точке и проходящей через фокус параболы .
3. Найти точку симметричную с началом координат относительно прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
4. Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.
Вариант 10
Даны уравнения сторон треугольника ,
и . Составить
уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно
противоположной стороне.
Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее фокус
совпадает с центром окружности , а асимптоты
имеют уравнения .
Найти проекцию фокуса параболы на асимптоту гиперболы , проходящей через и квадранты.
Привести уравнение к каноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому уравнению.