Примерный вариант контрольной работы № I по аналитической геометрии на плоскости
1.
Даны координаты двух противоположных
вершин ромба
,
и уравнение стороны
.
Найти координаты вершин ромба
и
.
2.
Найти каноническое уравнение эллипса
и построить кривую, если его малая
полуось равна радиусу окружности
,
а левый фокус совпадает с центром другой
окружности
.
3.
Найти расстояние от фокуса параболы
до асимптоты гиперболы
,
проходящей через
и
квадранты.
4.
Привести уравнение
к каноническому виду. Построить кривую,
соответствующую этому уравнению.
Мы рекомендуем при решении задач контрольной работы № 1 делать рисунки в декартовой системе координат. Они, в некоторой степени, будут контролем правильности решения Вашей задачи.
Решение задачи № 1
1. Сделаем рисунок и запишем краткое условие нашей задачи.
Рис. 1
Так
как координаты точки
удовлетворяют уравнению
,
то точка
принадлежит этой прямой и можно считать,
что сторона ромба
лежит на этой прямой.
Дано:
–
ромб;
,
;
Найти координаты точек и .
2.
Найдем координаты точки
,
которая является серединой отрезка
(см. рис.1). Следовательно,
Таким
образом,
.
3. Найдем угловой коэффициент диагонали по формуле
4.
Составим уравнение диагонали
.
Так как диагонали ромба перпендикулярны,
то их угловые коэффициенты связаны
соотношением
Итак,
нам известны координаты точки
,
лежащей на диагонали
,
и ее угловой коэффициент
.
Используя уравнение пучка прямых
,
составим уравнение диагонали
:
.
Отсюда
получаем общее уравнение диагонали
:
.
5. Найдем координаты точки как точки пересечения двух прямых и , т. е. координаты точки являются решением следующей системы линейных уравнений:
Для
нахождения решения этой системы вычтем
из первого уравнения второе, получим:
.
Подставляя
в первое уравнение, находим вторую
компоненту решения
.
Таким образом, координаты точки
.
6. Найдем координаты точки . Так как точка делит отрезок пополам, то
и
Отсюда получаем:
и
Следовательно,
координаты точки
.
Ответ: и .
Решение задачи № 2
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где
–длина
большой полуоси,
–длина
малой полуоси и координаты фокусов
и
(см. рис. 2). Параметры эллипса
,
и
принимают положительные значения и
связаны следующим соотношением
Рис. 2
1.
Найдем радиус окружности
.
Для этого, используя формулу
,
приведём наше уравнение окружности к
каноническому виду:
где
точка
является центром окружности, а
-радиусом.
Сначала
перепишем заданное уравнение окружности
в следующем виде
,
затем выделим полный квадрат по переменной
:
.
В результате получаем
.
Следовательно, радиус окружности
и параметр эллипса
.
2.
Найдем центр окружности
.
В этом уравнении перегруппируем
слагаемые, стоящие в левой части, и так
же, как в первом пункте, выделим полный
квадрат по переменной
:
и
.
Отсюда центр окружности имеет координаты
.
Следовательно, левый фокус эллипса
находится в точке
и параметр эллипса
.
Рис. 3
3.
Найдем параметр эллипса
с помощью соотношения
,
т. е.
.
Таким
образом, искомое уравнение эллипса
имеет вид
Ответ:
и эллипс изображен на рис. 3.