Экзаменационная программа по линейной алгебре (1 сем.)

1. Геометрические векторы. Основные понятия: определение, модуль,коллинеар- ность, равенство векторов, проекция вектора на направление другого вектора.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой.

Модулем вектора АВ называется длина отрезка, равная расстоянию между точка А и В.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

Проекцией (ортогональной проекцией) вектора на ось называется длина его векторной проекции на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор и ось сонаправлены, и со знаком минус – если вектор и ось противоположно направлены

2. Линейные операции над геометрическими векторами. Правила треугольника и параллелограмма сложения векторов. Свойства линейных операций.

Сложение векторов и умножение вектора на число.

Правило треугольника – а+b=с

а b

c

Правило параллелограмма – а+b=с

_ _ _ _ _ _

a c

b

Умножение вектора на число.

Произведением вектора   на число k называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору  ;

2. сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

3. длины связаны следующим соотношением:  .

Свойства линейных операций.

Сложение векторов коммутативно:  .

Сложение векторов ассоциативно:  .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего:  . Очевидно,  .

Для любого вектора   существует вектор   такой, что   или  .

Умножение вектора на число ассоциативно:  . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:  .

3. Линейная зависимость системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов (доказательство).

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Конечная система векторов, содержащая более одного вектора, линейно зависима   она содержит вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.

_{Доказательство.  ( ).  Пусть система векторов}   линейно зависима и  .  Это означает существование чисел  , среди которых есть отличные от нуля, таких, что  .   Пусть . Тогда  ,  то есть вектор   линейно выражается через остальные векторы системы.

( ).  Пусть вектор   линейно выражается через остальные век­торы системы:  . Тогда  . Следовательно, система векторов   линейно зави­сима.