Необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух; трех векторов.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух
векторов является их коллинеарность. Всякие три вектора лежащие в одной плоскости линейно зависимы.
Определение линейного пространства. Размерность линейного пространства.
Обобщающее понятие для математической множеств различной природы, в котором введены линейные операции, обладающие теми же свойствами, что и линейные операции над геометрическими векторами. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов , если: 1.она линейно независима. 2. Каждый вектор данного пространства может быть представлен виде линейных комбинаций базисных векторов.
Любая
упорядоченная линейно независимая
система 
векторов 
линейного
пространства 
образует базис
пространства и
любой вектор 
единственным
образом выражается через векторы
базиса: 
.
Числа 
называют координатами
вектора 
в
базисе
и
обозначают 
.
При этом для любых двух произвольных
векторов
-мерного
линейного пространства
, 
и
произвольного числа 
справедливо: 
и 
.
Теорема о единственности разложения вектора по данному базису (док-во).
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Базис плоскости; базис трехмерного пространства. Линейные операции над векторами в координатной форме.
Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.
Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.
Линейные операции над векторами можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах, например:
1. Сложение векторов.
Векторная форма.
.
Координатная форма.
.
2. Умножение вектора на число.
Векторная форма.
.
Координатная форма.
.
Декартов ортонормированный базис плоскости; трехмерного пространства. Вычисление модуля вектора в ортонормированном базисе.
Декартовой называется система, базисные векторы которой взаимно ортогональны, по модулю равны единице и образуют правую тройку. Обозначаются базисные векторы латинскими буквами, которые называются, в соответствии с традицией, по-французски: i – и, j – жи, k – ка
Радиус-вектор точки. Координаты точки в пространстве. Расстояние между двумя точками. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Ра́диус-ве́ктор (обычно
обозначается 
или
просто 
)
— вектор,
задающий положения точки в пространстве относительно
некоторой заранее фиксированной точки,
называемой началомкоординат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Скалярное произведение двух векторов; его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. Условие ортогональности векторов в координатной форме.
cos
,
cos
,
cos
=1
Определение.
Скалярным
произведением двух векторов
называется число
равное
произведению длин векторов на cos
угла между ними
=
Свойства.
1.
2.
=
2;
3.
4.
*
=0
5.
*(
+
)*
=
*
+
*
6.cos(
*
)=
7
8.Если
=
:
=
в
{i, j,k.}, то
*
=a1*b1+a2*b2+a3*b3
Условие ортогональности.(перпендик)
и в ортонормированном базисе.
; = => a1*b1+a2*b2+a3*b3=0
Если
=
:
=
в базисе{i,
j,k.}
=> cos(
;
)=