Уравнения звеньев системы. Линеаризация
Основная сложность, которая существует при выводе уравнений звеньев системы, заключается в необходимости установления допустимой степени идеализации и упрощения звеньев. Главным упрощением, к которому следует стремиться при выводе уравнений звеньев системы, является их линеаризация, т. е. описание линейными дифференциальными уравнениями. Линеаризация нелинейности, содержащейся в уравнении звена, заключается в замене этой нелинейности приближенной линейной зависимостью.
Пример
звена, описываемого нелинейной статической
зависимостью
(рис. 12.2, а). Пусть установившийся режим
звена соответствует значениям входной
и выходной величин
и
(рис.
12.2,б) и отклонения
от
в
процессе
работы звена достаточно малы. В этом
случае исходную нелинейную зависимость
можно
разложить в ряд Тейлора в окрестностях
точки исходного установившегося режима
и, отбросив члены ряда выше первого
порядка малости, получить следующую
приближенную зависимость:
где
-
значение производной функции
по
при
подстановке
в выражение этой производной = .
Это уравнение можно переписать в таком окончательном виде:
(1)
где
Рис. 12.2. Линеаризация статического звена
Такая линеаризация имеет простую графическую интерпретацию. Она соответствует, как показано на рис. 12.2, б, замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент к в уравнении (1) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс. Поэтому его величина может быть найдена и графическим построением без нахождения аналитического выражения для исходной нелинейной зависимости .
П Лекция 12 (1/2) ереходные и частотные характеристики звеньев
Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны помимо уравнений графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяются два типа таких характеристик — переходные и частотные.
Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность — по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена.
Таким образом, переходные и частотные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием свойств звена.
Переходные характеристики
Переходная или временная характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция)— это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. См. рис 12.3.
Переходная характеристика обозначается h(t). Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t)и может быть описано следующим равенством:
рис.
12.3. переходные характеристики