- •1. Матрицы. Матрицы частного вида.
- •2.Сложение матриц, умножение на число, перемножение матриц.
- •3. Определители и их свойства.
- •4. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Методы вычисления определителей. Разложение определителя по строкам и столбцам.
- •5. Невырожденная матрица, обратная матрица.
- •7. Системы линейных уравнений.
- •8. Методы решения системы n уравнений с n неизвестными: матричный, метод Крамера.
- •9. Метод Гаусса.
- •10. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кромекера-Капелли.
- •12. Модель Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева.
- •13. Основные понятия теории многочленов. Теории Безу. Основная теория алгебры. Разложение многочленов на многочлены.
- •14. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •15. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •16. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексных чисел.
- •17. Векторная алгебра. Вектор на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.
- •18. Линейное пространство. Линейная зависимость. Системы векторов и ее геометрический смысл.
- •19. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
- •20. Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn.
- •21.Линейные преобразования пространства Rn. Линейный оператор и его матрица.
- •22. Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду, приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •23.Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •24, 25. Классификации кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола, их свойства и канонические уравнения.
- •26. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
- •27. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.
- •28. Классификация поверхностей второго порядка.
- •29. Эллипсоиды, гиперболоиды, парабалоиды, их свойства и канонические уравнения.
- •30. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Основная задача линейного программирования.
- •31. Геометрическая интеграция задачи линейного программирования для двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
- •32. Симплекс метод. Решение задач линейного программирования. Нахождение опорного плана, нахождение оптимального плана. Понятие о взаимно-двойственных задач.
- •33,34. Транспортная задача. Методы отыскания опорного плана транспортной задачи.
7. Системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. В матричном виде система линейных уравнений представляется в виде столбца коэффициентов при неизвестных A, самого столбца неизвестных X и столбца свободных членов B.
8. Методы решения системы n уравнений с n неизвестными: матричный, метод Крамера.
Решение системы уравнений – это такой набор значений неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если решений нет. Совместная система уравнений называется определенной, если решение единственное и неопределенной, если решений множество. Матричный способ решения. Столбец неизвестных получим , если столбец свободных членов умножим на матрицу обратную главной. Метод Крамера. Если главный определитель системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера , – побочный определитель, получаемый из главного заменой j столбца на столбец свободных членов. Если главный определитель равен нулю: если все побочные определители равны нулю, то система будет неопределенной – множество решений; если существует отличный от нуля, тогда система будет совместна.
9. Метод Гаусса.
Суть метода состоит в том, чтобы путем применения элементарных преобразований главную матрицу системы привести к верхней правой треугольной относительно главной диагонали, причём на главной диагонали должны быть единицы.
10. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кромекера-Капелли.
Теорема о базисном миноре. Базисным называют минор порядка равного рангу матрицы отличной от нуля. Строчки(столбцы) образующие базисный минор и называемые базисными линейно зависимы. Любая строка(столбец) может быть выражена линейной комбинацией базисных. Теорема Кромекера-Капелли. Для того, чтобы система уравнений была совместна Н. И Д., чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.
Схема исследования: 1-Rang главной матрицы = Rang расширенной матрицы => система совместна; 2-Сравнить число неизвестных и Rang. Если R=r, то система имеет единственное решение. Если они равны, то система имеет единственное решение. Если число неизвестных больше чем ранг, то система имеет бесчисленное кол-во решений и система неопределенная; 3-Выбрать базисный минор. Неизвестные коэффициенты, при которых входят в базисный минор, назовём базисными неизвестными. Именно они подлежат определению, все остальные назовём свободными неизвестными; 4-Переписать систему уравнений относительно базисных неизвестных. Т. е. Оставить их в первых частя уравнения, свободные неизвестные со своими коэффициентами перенести в правые части уравнения, уравнения, коэффициенты которых не входят в базисный минор – отбросить. Новых решений они не дадут.
11. Однородная система уравнений, нетривиальная совместность однородной системы.
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной. Однородная система уравнений всегда совместна. Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, которая отличается наличием столбца свободных членов(нулевого столбца). Для того, чтобы система была нетривиального совместна необходимо и достаточно, чтобы её ранг был меньше числа неизвестных. Если матрица квадратная, то Н. и Д., чтобы её определитель был равен нулю.