17. Векторная алгебра. Вектор на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.

Вектор – направленный отрезок с начальной точкой A, конечной точкой B, который можно передвигать параллельно самому себе. Длина вектора |AB|≥0 ; a||b – компланарные; a ↓↑b – противоположные. Действия: сложение a+b=c; умножение на число , .; выитание c=a-b=a+(-1)b. Скалярное произведение. Ск. Произв. Называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.(a*b)=|a|*|b|*cos . Скалярное произведение равно сумме парных произведений одноименных координат.

18. Линейное пространство. Линейная зависимость. Системы векторов и ее геометрический смысл.

Множество всех n-мерных векторов для которых определены операции: сложение и умножения на число, так, что справедливы свойства сложения и умножения чисел, называется линейным, n-мерным векторным пространством.

Линейная зависимость и независимость элементов линейного векторного пространства. Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2,...,λn,при котором линейная комбинация векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn отлично от нуля. И линейно не завис., если все λ равны нулю. Наличие линейной зависимости между векторами свидетельствует о том, что хотя бы один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Компланарные векторы линейно зависимы. Наличие линейной зависимости установим, подсчитав ранг матрицы составленной из координат данных векторов. Геометрический смысл линейной зависимости заключается в следующем: система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны; система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;

всякие четыре вектора линейно зависимы.

19. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.

Размерность пространства называется максимальное число линейно-независимых векторов пространства, т. е. Rang матрицы составленной из координат данных векторов. Базис – это любая совокупность линейно-независимых векторов пространства взятых в определенном порядке. В Rn-ом линейном векторном пространстве n линейно-независимых векторов может быть разложен по базису т.к. является линейно зависимым с ним. Если система векторов e1, ..., en n-мерного линейного пространства Ln образует базис в Ln, то любой вектор x из Ln может быть представлен в виде x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en. Выражение x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en называется разложением вектора по базису e1, ..., en, а числа С1, С2, ..., Сn называются координатами вектора x  в базисе e1, ..., en.

20. Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn.

Ск. Произв. Задаётся формулой . Длина |x|=||x||= = . Угол между x и y . Пространство Rn в котором определено скалярное произведение называется n-мерным Евклидовым пространством, обозначается En. Неравенство Коши-Буняковского. (xy)≤|x||y|.Неравенство Коши — Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве.