21.Линейные преобразования пространства Rn. Линейный оператор и его матрица.

Пусть каждому n-мерному вектору x из пространства Rn поставлена в соответствие по определенному правилу тоже из Rn. Это соответствие называется преобразованием y=A. Линейный оператор, это некая операция переводящая один объект (может быть и вектор) в другой подчиняющаяся двум правилам. Оператор A называется линейным, если для любых двух векторов x и y из R и произвольного числа . A(x+y)=Ax+Ay ; A( = .

22. Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду, приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Т. е. не содержат свободного члена и членов 1-ой степени. f ; f .

Для матрицы квадрат. формы собственные числа . Квадратичная форма имеет канонический вид если все элементы матрицы стоящие вне главной диагонали равны нулю. Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований.

23.Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0. уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и Оу; уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х0 ,у0) у-у0 = k(х-х0 ); уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1у1) и (х2у2) ; уравнение прямой в отрезках ; расстояние от точки до прямой .

24, 25. Классификации кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола, их свойства и канонические уравнения.

Общее уравнение кривых второго порядка - . Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек называемых фокусами эллипса постоянна и равна 2a.Существует уравнение эллиптического типа - . Если AC>0, то уравнение эллиптического типа. – уравнение эллипса.

– уравнение мнимого эллипса. – каноническое уравнение эллипса. Свойства эллипса: Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках; Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси; Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии; Эллипс имеет центр симметрии; Эллипс может быть получен сжатием окружности. Парабола -  геометрическое место точек равноудаленных от фокуса и директрисы.  – каноническое уравнение параболы. x=-p/2 – уравнение директрисы. Свойства: Парабола имеет ось симметрии; Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0. Гипербола -  геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек  есть величина постоянная. – каноническое уравнение гиперболы. Свойства: Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы; Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии; Гипербола имеет центр симметрии; Гипербола пересекается с прямой y = kx при |k|<   в двух точках. Если|k|≥   то общих точек у прямой и гиперболы нет.